7. РООП ООО 2022 - 2027 МАТЕМАТИКА

Приложение 7
к РООП ООО
Министерство образования и науки
Донецкой Народной Республики
Управление образования администрации Амвросиевского района
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Амвросиевская школа № 5»
Амвросиевского района
«Рассмотрено»
на заседании педагогического
совета
Протокол
от «23» 08. 2022_ года № _9_

«Утверждаю»
Директор МБОУ «Амвросиевская школа № 5»
Амвросиевского района
Приказ от «_23_» _08__ 20_22_ года № _141_
Н.В. Парафейник

Рабочая программа
по _учебному предмету
«МАТЕМАТИКА»
для _5 - 9_ классов
5 класс 5 час в неделю (всего 170 часов)
6 класс 5 час в неделю (всего 170 часов)
7 класс 6 часов в неделю (всего 204 часа)
8 класс 6 часов в неделю (всего 204 часа)
9 класс 6 часов в неделю (всего 204 часа)
(срок реализации 5 лет)
Авторы-составители:
Зам. директора по УВР _Михалкина О.В.
Рассмотрено на заседании МО
учителей естественно - научного цикла

2022г.

г. Амвросиевка

СОДЕРЖАНИЕ
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ...................................................................................................................3
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА
«МАТЕМАТИКА» НА УРОВНЕ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ...............................5
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «МАТЕМАТИКА». 5-6 КЛАССЫ ..................8
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА ...................................................................................................... 10
ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ........................................................................... 12
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ................................................................................................... 16
5 КЛАСС ................................................................................................................................................. 16
6 КЛАСС ................................................................................................................................................. 22
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «АЛГЕБРА». 7-9 КЛАССЫ ............................ 27
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА ...................................................................................................... 28
ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ........................................................................... 30
7 КЛАСС ................................................................................................................................................. 34
8 КЛАСС ................................................................................................................................................. 37
9 КЛАСС ................................................................................................................................................. 41
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ». 7-9 КЛАССЫ ..................... 45
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА ...................................................................................................... 46
ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ........................................................................... 47
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ................................................................................................... 49
7 класс........................................................................................................................................................ 49
8 класс........................................................................................................................................................ 51
9 класс........................................................................................................................................................ 54
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА». 7-9
КЛАССЫ............................................................................................................................................................ 57
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА ...................................................................................................... 58
ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ ПРИМЕРНОЙ РАБОЧЕЙ
ПРОГРАММЫ КУРСА ............................................................................................................... 59
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ................................................................................................... 61
7 класс........................................................................................................................................................ 61
8 класс........................................................................................................................................................ 63
9 класс........................................................................................................................................................ 65

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Рабочая основная образовательная программа по предмету «Математика» (5 – 9
классы) составлена на основании следующих нормативных документов:
✓ Государственного образовательного стандарта основного общего образования
Донецкой Народной Республики, утвержденного Приказом Министерства
образования и науки Донецкой Народной Республики от 30.03.2022г. № 22-НП
(зарегистрировано в Министерстве юстиции Донецкой Народной Республики,
регистрационный № 5055 от 05.04.2022г.);
✓ Примерной основной образовательной программы основного общего образования
(утверждена Приказом Министерства образования и науки Донецкой Народной
Республики от 18.07.2022 № 586);
✓ Учебного плана МБОУ «Амвросиевская школа № 5» Амвросиевского района
(утвержден Приказом МБОУ «Амвросиевская школа № 5» Амвросиевского района
ДНР);
✓ Примерная рабочая программа основного общего образования «Математика» (для 5
- 9 классов образовательной организации) (рекомендована решением научно –
методического совета ГБОУ ДПО «ДОНРИРО» (протокол от 11.08.2022 № 3)
В эпоху цифровой трансформации всех сфер человеческой деятельности
невозможно стать образованным современным человеком без базовой математической
подготовки. Уже в школе математика служит опорным предметом для изучения смежных
дисциплин, а после школы реальной необходимостью становится непрерывное
образование, что требует полноценной базовой общеобразовательной подготовки, в том
числе и математической. Это обусловлено тем, что в наши дни растёт число профессий,
связанных с непосредственным применением математики: и в сфере экономики, и в
бизнесе, и в технологических областях, и даже в гуманитарных сферах. Таким образом, круг
школьников, для которых математика может стать значимым предметом, расширяется.
Практическая полезность математики обусловлена тем, что её предметом являются
фундаментальные структуры нашего мира: пространственные формы и количественные
отношения от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте, до достаточно
сложных, необходимых для развития научных и прикладных идей. Без конкретных
математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использования
современной техники, восприятие и интерпретация разнообразной социальной,
экономической, политической информации, малоэффективна повседневная практическая
деятельность. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять расчёты и
составлять алгоритмы, находить и применять формулы, владеть практическими приёмами
геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде
таблиц, диаграмм и графиков, жить в условиях неопределённости и понимать
вероятностный характер случайных событий.
Одновременно с расширением сфер применения математики в современном
обществе всё более важным становится математический стиль мышления, проявляющийся
в определённых умственных навыках. В процессе изучения математики в арсенал приёмов
и методов мышления человека естественным образом включаются индукция и дедукция,
обобщение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация,
абстрагирование и аналогия. Объекты математических умозаключений, правила их
конструирования раскрывают механизм логических построений, способствуют выработке
умения формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают
логическое мышление. Ведущая роль принадлежит математике и в формировании
алгоритмической компоненты мышления и воспитании умений действовать по заданным
алгоритмам, совершенствовать известные и конструировать новые. В процессе решения
задач – основой учебной деятельности на уроках математики – развиваются также
творческая и прикладная стороны мышления.
3

Обучение математике даёт возможность развивать у обучающихся точную,
рациональную и информативную речь, умение отбирать наиболее подходящие языковые,
символические, графические средства для выражения суждений и наглядного их
представления.
Необходимым компонентом общей культуры в современном толковании является
общее знакомство с методами познания действительности, представление о предмете и
методах математики, их отличий от методов других естественных и гуманитарных наук, об
особенностях применения математики для решения научных и прикладных задач. Таким
образом, математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры
человека.
Изучение математики также способствует эстетическому воспитанию человека,
пониманию красоты и изящества математических рассуждений, восприятию
геометрических форм, усвоению идеи симметрии.
Приоритетными целями обучения математике в 5 – 9 классах являются:
➢ формирование центральных математических понятий (число, величина,
геометрическая фигура, переменная, вероятность, функция), обеспечивающих
преемственность и перспективность математического образования обучающихся;
➢ подведение обучающихся на доступном для них уровне к осознанию взаимосвязи
математики и окружающего мира, понимание математики как части общей культуры
человечества;
➢ развитие интеллектуальных и творческих способностей обучающихся,
познавательной активности, исследовательских умений, критичности мышления, интереса
к изучению математики;
➢ формирование функциональной математической грамотности: умения распознавать
проявления математических понятий, объектов и закономерностей в реальных жизненных
ситуациях и при изучении других учебных предметов, проявления зависимостей и
закономерностей, формулировать их на языке математики и создавать математические
модели, применять освоенный математический аппарат для решения практикоориентированных задач, интерпретировать и оценивать полученные результаты.
Основные линии содержания курса математики в 5 – 9 классах: «Числа и
вычисления», «Алгебра» («Алгебраические выражения», «Уравнения и неравенства»),
«Функции», «Геометрия» («Геометрические фигуры и их свойства», «Измерение
геометрических величин»), «Вероятность и статистика». Данные линии развиваются
параллельно, каждая в соответствии с собственной логикой, однако не независимо одна от
другой, а в тесном контакте и взаимодействии. Кроме этого, их объединяет логическая
составляющая, традиционно присущая математике и пронизывающая все математические
курсы и содержательные линии. Сформулированное в Государственном образовательном
стандарте основного общего образования требование «уметь оперировать понятиями:
определение, аксиома, теорема, доказательство; умение распознавать истинные и ложные
высказывания, приводить примеры и контрпримеры, строить высказывания и отрицания
высказываний» относится ко всем курсам, а формирование логических умений
распределяется по всем годам обучения на уровне основного общего образования.
Место предмета в учебном плане
Настоящей программой предусматривается выделение в учебном плане на изучение
математики в 5 – 6 классах 5 учебных часов в неделю в течение каждого года обучения, в 7
– 9 классах 6 учебных часов в неделю в течение каждого года обучения, всего 952 учебных
часа.
При организации процесса обучения в рамках данной программы предполагается
применение следующих педагогических технологий обучения:
✓ репродуктивная технология;
✓ технология развивающего обучения;
4

✓ игровые технологии;
✓ технология проблемного обучения;
✓ технология уровневой дифференциации.
Внеурочная деятельность по предмету предусматривается в формах
❖ внеклассных (внеурочных) мероприятий;
❖ дидактических игр;
❖ предметных неделей;
❖ предметных олимпиад.

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ ПРОГРАММЫ
УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА «МАТЕМАТИКА» НА УРОВНЕ
ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Личностные результаты освоения программы учебного предмета «Математика»
характеризуются:
Патриотическое воспитание:
проявлением интереса к прошлому и настоящему российской математики,
ценностным отношением к достижениям российских математиков и российской
математической школы, к использованию этих достижений в других науках и прикладных
сферах.
Гражданское и духовно-нравственное воспитание:
готовностью к выполнению обязанностей гражданина и реализации его прав,
представлением о математических основах функционирования различных структур,
явлений, процедур гражданского общества (выборы, опросы и пр.); готовностью к
обсуждению этических проблем, связанных с практическим применением достижений
науки, осознанием важности морально-этических принципов в деятельности учёного.
Трудовое воспитание:
установкой на активное участие в решении практических задач математической
направленности, осознанием важности математического образования на протяжении всей
жизни для успешной профессиональной деятельности и развитием необходимых умений;
осознанным выбором и построением индивидуальной траектории образования и
жизненных планов с учётом личных интересов и общественных потребностей.
Эстетическое воспитание:
способностью к эмоциональному и эстетическому восприятию математических
объектов, задач, решений, рассуждений; умению видеть математические закономерности в
искусстве.
Ценности научного познания:
ориентацией в деятельности на современную систему научных представлений об
основных закономерностях развития человека, природы и общества, пониманием
математической науки как сферы человеческой деятельности, этапов её развития и
значимости для развития цивилизации; овладением языком математики и математической
культурой как средством познания мира; овладением простейшими навыками
исследовательской деятельности.
Физическое воспитание, формирование культуры здоровья и эмоционального
благополучия:
готовностью применять математические знания в интересах своего здоровья, ведения
здорового образа жизни (здоровое питание, сбалансированный режим занятий и отдыха,
5

регулярная физическая активность); сформированностью навыка рефлексии, признанием
своего права на ошибку и такого же права другого человека.
Экологическое воспитание:
ориентацией на применение математических знаний для решения задач в области
сохранности окружающей среды, планирования поступков и оценки их возможных
последствий для окружающей среды; осознанием глобального характера экологических
проблем и путей их решения.
Личностные результаты, обеспечивающие адаптацию обучающегося к
изменяющимся условиям социальной и природной среды:
готовностью к действиям в условиях неопределённости, повышению уровня своей
компетентности через практическую деятельность, в том числе умение учиться у других
людей, приобретать в совместной деятельности новые знания, навыки и компетенции из
опыта других;
необходимостью в формировании новых знаний, в том числе формулировать идеи,
понятия, гипотезы об объектах и явлениях, в том числе ранее не известных, осознавать
дефициты собственных знаний и компетентностей, планировать своё развитие;
способностью осознавать стрессовую ситуацию, воспринимать стрессовую ситуацию
как вызов, требующий контрмер, корректировать принимаемые решения и действия,
формулировать и оценивать риски и последствия, формировать опыт.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Метапредметные результаты освоения программы учебного предмета «Математика»
характеризуются овладением универсальными познавательными действиями,
универсальными коммуникативными действиями и универсальными регулятивными
действиями.
1)
Универсальные познавательные действия обеспечивают формирование базовых
когнитивных процессов обучающихся (освоение методов познания окружающего мира;
применение логических, исследовательских операций, умений работать с информацией).
Базовые логические действия:
➢ выявлять и характеризовать существенные признаки математических объектов,
понятий, отношений между понятиями; формулировать определения понятий;
устанавливать существенный признак классификации, основания для обобщения и
сравнения, критерии проводимого анализа; воспринимать, формулировать и
преобразовывать суждения: утвердительные и отрицательные, единичные, частные и
общие; условные;
➢ выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в фактах,
данных, наблюдениях и утверждениях; предлагать критерии для выявления
закономерностей и противоречий;
➢ делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и индуктивных
умозаключений, умозаключений по аналогии; разбирать доказательства математических
утверждений (прямые и от противного), проводить самостоятельно несложные
доказательства математических фактов, выстраивать аргументацию, приводить примеры и
контрпримеры; обосновывать собственные рассуждения;
➢ выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов
решения, выбирать наиболее подходящий с учётом самостоятельно выделенных
критериев).
Базовые исследовательские действия:
➢ использовать вопросы как исследовательский инструмент познания; формулировать
вопросы, фиксирующие противоречие, проблему, самостоятельно устанавливать искомое и
данное, формировать гипотезу, аргументировать свою позицию, мнение;

➢ проводить по самостоятельно составленному плану несложный эксперимент,
небольшое исследование по установлению особенностей математического объекта,
зависимостей объектов между собой;
➢ самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам проведённого
наблюдения, исследования, оценивать достоверность полученных результатов, выводов и
обобщений;
➢ прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать предположения о
его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
➢ выявлять недостаточность и избыточность информации, данных, необходимых для
решения задачи;
➢ выбирать, анализировать, систематизировать и интерпретировать информацию
различных видов и форм представления; выбирать форму представления информации и
иллюстрировать решаемые задачи схемами, диаграммами, иной графикой и их
комбинациями;
➢ оценивать надёжность информации по критериям, предложенным учителем или
сформулированным самостоятельно.
2)
Универсальные коммуникативные действия обеспечивают сформированность
социальных навыков обучающихся.
Общение:
➢ воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и целями
общения; ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных и письменных
текстах, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный результат;
➢ в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы, проблемы,
решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск решения; сопоставлять свои
суждения с суждениями других участников диалога, обнаруживать различие и сходство
позиций; в корректной форме формулировать разногласия, свои возражения;
➢ представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования, проекта;
самостоятельно выбирать формат выступления с учётом задач презентации и особенностей
аудитории.
Сотрудничество:
➢ понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной работы при
решении учебных математических задач; принимать цель совместной деятельности,
планировать организацию совместной работы, распределять виды работ, договариваться,
обсуждать процесс и результат работы; обобщать мнения нескольких людей;
➢ участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнениями, мозговые
штурмы и др.); выполнять свою часть работы и координировать свои действия с другими
членами команды; оценивать качество своего вклада в общий продукт по критериям,
сформулированным участниками взаимодействия.
3)
Универсальные регулятивные действия обеспечивают формирование смысловых
установок и жизненных навыков личности.
Самоорганизация:
➢ самостоятельно составлять план, алгоритм решения задачи (или его часть), выбирать
способ решения с учётом имеющихся ресурсов и собственных возможностей,
аргументировать и корректировать варианты решений с учётом новой информации.
Самоконтроль:
➢ владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата решения
математической задачи; предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении
задачи, вносить коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств, найденных
ошибок, выявленных трудностей;

➢ оценивать соответствие результата деятельности поставленной цели и условиям,
объяснять причины достижения или недостижения цели, находить ошибку, давать оценку
приобретённому опыту.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Предметные результаты освоения Примерной рабочей программы по математике
представлены по годам обучения в следующих разделах программы в рамках отдельных
курсов: в 5-6 классах – курса «Математика», в 7-9 классах – курсов «Алгебра»,
«Геометрия», «Вероятность и статистика».
Развитие логических представлений и навыков логического мышления
осуществляется на протяжении всех лет обучения в основной школе в рамках всех
названных курсов. Предполагается, что выпускник основной школы сможет строить
высказывания и отрицания высказываний, распознавать истинные и ложные высказывания,
приводить примеры и контрпримеры, овладеет понятиями: определение, аксиома, теорема,
доказательство – и научится использовать их при выполнении учебных и внеучебных задач.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОГО КУРСА «МАТЕМАТИКА». 5-6 КЛАССЫ
ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА
Приоритетными целями обучения математике в 5 – 6 классах являются:
➢ продолжение формирования основных математических понятий (число, величина,
геометрическая фигура), обеспечивающих преемственность и перспективность
математического образования обучающихся;
➢ развитие интеллектуальных и творческих способностей обучающихся,
познавательной активности, исследовательских умений, интереса к изучению математики;
➢ подведение обучающихся на доступном для них уровне к осознанию взаимосвязи
математики и окружающего мира;
➢ формирование функциональной математической грамотности: умения распознавать
математические объекты в реальных жизненных ситуациях, применять освоенные умения
для решения практико-ориентированных задач, интерпретировать полученные результаты
и оценивать их на соответствие практической ситуации.
Основные линии содержания курса математики в 5 – 6 классах – арифметическая и
геометрическая, которые развиваются параллельно, каждая в соответствии с собственной
логикой, однако, не независимо одна от другой, а в тесном контакте и взаимодействии.
Также в курсе происходит знакомство с элементами алгебры и описательной статистики.
Изучение арифметического материала начинается со систематизации и развития
знаний о натуральных числах, полученных в начальной школе. При этом
совершенствование вычислительной техники и формирование новых теоретических знаний
сочетается с развитием вычислительной культуры, в частности с обучением простейшим
приёмам прикидки и оценки результатов вычислений. Изучение натуральных чисел
продолжается в 6 классе знакомством с начальными понятиями теории делимости.
Другой крупный блок в содержании арифметической линии – это дроби. Начало
изучения обыкновенных и десятичных дробей отнесено к 5 классу. Это первый этап в
освоении дробей, когда происходит знакомство с основными идеями, понятиямиемы. При
этом рассмотрение обыкновенных дробей в полном объёме предшествует изучению
десятичных дробей, что целесообразно с точки зрения логики изложения числовой линии,
когда правила действий с десятичными дробями можно обосновать уже известными
алгоритмами выполнения действий с обыкновенными дробями. Знакомство с десятичными
дробями расширит возможности для понимания обучающимися прикладного применения
8

новой записи при изучении других предметов и при практическом использовании. К 6
классу отнесён второй этап в изучении дробей, где происходит совершенствование навыков
сравнения и преобразования дробей, освоение новых вычислительных алгоритмов,
оттачивание техники вычислений, в том числе значений выражений, содержащих и
обыкновенные, и десятичные дроби, установление связей между ними, рассмотрение
приёмов решения задач на дроби. В начале 6 класса происходит знакомство с понятием
процента.
Особенностью изучения положительных и отрицательных чисел является то, что они
также могут рассматриваться в несколько этапов. В 6 классе в начале изучения темы
«Положительные и отрицательные числа» выделяется подтема «Целые числа», в рамках
которой знакомство с отрицательными числами и действиями с положительными и
отрицательными числами происходит на основе содержательного подхода. Это позволяет
на доступном уровне познакомить учащихся практически со всеми основными понятиями
темы, в том числе и с правилами знаков при выполнении арифметических действий.
Изучение рациональных чисел на этом не закончится, а будет продолжено в курсе алгебры
7 класса, что станет следующим проходом всех принципиальных вопросов, тем самым
разделение трудностей облегчает восприятие материала, а распределение во времени
способствует прочности приобретаемых навыков.
При обучении решению текстовых задач в 5-6 классах используются арифметические
приёмы решения. Текстовые задачи, решаемые при отработке вычислительных навыков в
5–6 классах, рассматриваются задачи следующих видов: задачи на движение, на части, на
покупки, на работу и производительность, на проценты, на отношения и пропорции. Кроме
того, обучающиеся знакомятся с приёмами решения задач перебором возможных
вариантов, учатся работать с информацией, представленной в форме таблиц или диаграмм.
В Примерной рабочей программе предусмотрено формирование пропедевтических
алгебраических представлений. Буква как символ некоторого числа в зависимости от
математического контекста вводится постепенно. Буквенная символика широко
используется прежде всего для записи общих утверждений и предложений, формул, в
частности для вычисления геометрических величин, в качестве «заместителя» числа.
В курсе «Математики» 5–6 классов представлена наглядная геометрия, направленная
на развитие образного мышления, пространственного воображения, изобразительных
умений. Это важный этап в изучении геометрии, который осуществляется на нагляднопрактическом уровне, опирается на наглядно-образное мышление обучающихся. Большая
роль отводится практической деятельности, опыту, эксперименту, моделированию.
Обучающиеся знакомятся с геометрическими фигурами на плоскости и в пространстве, с
их простейшими конфигурациями, учатся изображать их на нелинованной и клетчатой
бумаге, рассматривают их простейшие свойства. В процессе изучения наглядной геометрии
знания, полученные обучающимися в начальной школе, систематизируются и
расширяются.
МЕСТО УЧЕБНОГО КУРСА В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
Согласно учебному плану в 5-6 классах изучается интегрированный предмет
«Математика», который включает арифметический материал и наглядную геометрию, а
также пропедевтические сведения из алгебры, элементы логики и начала описательной
статистики.
Учебный план на изучение математики в 5 – 6 классах отводит не менее 5 учебных
часов в неделю в течение каждого года обучения, всего не менее 340 учебных часов.

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА
5 класс
Натуральные числа и нуль
Натуральное число. Ряд натуральных чисел. Число 0. Изображение натуральных
чисел точками на координатной (числовой) прямой.
Позиционная система счисления. Римская нумерация как пример непозиционной
системы счисления. Десятичная система счисления.
Сравнение натуральных чисел, сравнение натуральных чисел с нулём. Способы
сравнения. Округление натуральных чисел.
Сложение натуральных чисел; свойство нуля при сложении. Вычитание как действие,
обратное сложению. Умножение натуральных чисел; свойства нуля и единицы при
умножении. Деление как действие, обратное умножению. Компоненты действий, связь
между ними. Проверка результата арифметического действия. Переместительное и
сочетательное свойства (законы) сложения и умножения, распределительное свойство
(закон) умножения.
Использование букв для обозначения неизвестного компонента и записи свойств
арифметических действий.
Делители и кратные числа, разложение на множители. Простые и составные числа.
Признаки делимости на 2, 5, 10, 3, 9. Деление с остатком.
Степень с натуральным показателем. Запись числа в виде суммы разрядных
слагаемых.
Числовое выражение. Вычисление значений числовых выражений; порядок
выполнения действий. Использование при вычислениях переместительного и
сочетательного свойств (законов) сложения и умножения, распределительного свойства
умножения.
Дроби
Представление о дроби как способе записи части величины. Обыкновенные дроби.
Правильные и неправильные дроби. Смешанная дробь; представление смешанной дроби в
виде неправильной дроби и выделение целой части числа из неправильной дроби.
Изображение дробей точками на числовой прямой. Основное свойство дроби. Сокращение
дробей. Приведение дроби к новому знаменателю. Сравнение дробей.
Сложение и вычитание дробей. Умножение и деление дробей; взаимнообратные
дроби. Нахождение части целого и целого по его части.
Десятичная запись дробей. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной.
Изображение десятичных дробей точками на числовой прямой. Сравнение десятичных
дробей.
Арифметические действия с десятичными дробями. Округление десятичных дробей.
Решение текстовых задач
Решение текстовых задач арифметическим способом. Решение логических задач.
Решение задач перебором всех возможных вариантов. Использование при решении задач
таблиц и схем.
Решение задач, содержащих зависимости, связывающие величины: скорость, время,
расстояние; цена, количество, стоимость. Единицы измерения: массы, объёма, цены;
расстояния, времени, скорости. Связь между единицами измерения каждой величины.
Решение основных задач на дроби.
Представление данных в виде таблиц, столбчатых диаграмм.
Наглядная геометрия
Наглядные представления о фигурах на плоскости: точка, прямая, отрезок, луч, угол,
ломаная, многоугольник, окружность, круг. Угол. Прямой, острый, тупой и развёрнутый
углы.

Длина отрезка, метрические единицы длины. Длина ломаной, периметр
многоугольника. Измерение и построение углов с помощью транспортира.
Наглядные представления о фигурах на плоскости: многоугольник; прямоугольник,
квадрат; треугольник, о равенстве фигур.
Изображение фигур, в том числе на клетчатой бумаге. Построение конфигураций из
частей прямой, окружности на нелинованной и клетчатой бумаге. Использование свойств
сторон и углов прямоугольника, квадрата.
Площадь прямоугольника и многоугольников, составленных из прямоугольников, в
том числе фигур, изображённых на клетчатой бумаге. Единицы измерения площади.
Наглядные представления о пространственных фигурах: прямоугольный
параллелепипед, куб, многогранники. Изображение простейших многогранников.
Развёртки куба и параллелепипеда. Создание моделей многогранников (из бумаги,
проволоки, пластилина и др.).
Объём прямоугольного параллелепипеда, куба. Единицы измерения объёма.
6 класс
Натуральные числа
Арифметические действия с многозначными натуральными числами. Числовые
выражения, порядок действий, использование скобок. Использование при вычислениях
переместительного и сочетательного свойств сложения и умножения, распределительного
свойства умножения. Округление натуральных чисел.
Делители и кратные числа; наибольший общий делитель и наименьшее общее
кратное. Делимость суммы и произведения. Деление с остатком.
Дроби
Обыкновенная дробь, основное свойство дроби, сокращение дробей. Сравнение и
упорядочивание дробей. Решение задач на нахождение части от целого и целого по его
части. Дробное число как результат деления. Представление десятичной дроби в виде
обыкновенной дроби и возможность представления обыкновенной дроби в виде
десятичной. Десятичные дроби и метрическая система мер. Арифметические действия и
числовые выражения с обыкновенными и десятичными дробями.
Отношение. Деление в данном отношении. Масштаб, пропорция. Применение
пропорций при решении задач.
Понятие процента. Вычисление процента от величины и величины по её проценту.
Выражение процентов десятичными дробями. Решение задач на проценты. Выражение
отношения величин в процентах.
Положительные и отрицательные числа
Положительные и отрицательные числа. Целые числа. Модуль числа, геометрическая
интерпретация модуля числа. Изображение чисел на координатной прямой. Числовые
промежутки.
Сравнение чисел. Арифметические действия с положительными и отрицательными
числами.
Прямоугольная система координат на плоскости. Координаты точки на плоскости,
абсцисса и ордината. Построение точек и фигур на координатной плоскости.
Буквенные выражения
Применение букв для записи математических выражений и предложений. Свойства
арифметических действий. Буквенные выражения и числовые подстановки. Буквенные
равенства, нахождение неизвестного компонента. Формулы; формулы периметра и
площади прямоугольника, квадрата, объёма параллелепипеда и куба.
Решение текстовых задач
Решение текстовых задач арифметическим способом. Решение логических задач.
Решение задач перебором всех возможных вариантов.

Решение задач, содержащих зависимости, связывающих величины: скорость, время,
расстояние; цена, количество, стоимость; производительность, время, объём работы.
Единицы измерения: массы, стоимости; расстояния, времени, скорости. Связь между
единицами измерения каждой величины.
Решение задач, связанных с отношением, пропорциональностью величин,
процентами; решение основных задач на дроби и проценты.
Оценка и прикидка, округление результата.
Составление буквенных выражений по условию задачи.
Представление данных с помощью таблиц и диаграмм. Столбчатые диаграммы:
чтение и построение. Чтение круговых диаграмм.
Наглядная геометрия
Наглядные представления о фигурах на плоскости: точка, прямая, отрезок, луч, угол,
ломаная, многоугольник, четырёхугольник, треугольник, окружность, круг.
Взаимное расположение двух прямых на плоскости, параллельные прямые,
перпендикулярные прямые. Измерение расстояний: между двумя точками, от точки до
прямой; длина маршрута на квадратной сетке.
Измерение и построение углов с помощью транспортира. Виды треугольников:
остроугольный, прямоугольный, тупоугольный; равнобедренный, равносторонний.
Четырёхугольник, примеры четырёхугольников. Прямоугольник, квадрат: использование
свойств сторон, углов, диагоналей. Изображение геометрических фигур на нелинованной
бумаге с использованием циркуля, линейки, угольника, транспортира. Построения на
клетчатой бумаге.
Периметр многоугольника. Понятие площади фигуры; единицы измерения площади.
Приближённое измерение площади фигур, в том числе на квадратной сетке. Приближённое
измерение длины окружности, площади круга.
Симметрия: центральная, осевая и зеркальная симметрии. Построение симметричных
фигур.
Наглядные представления о пространственных фигурах: параллелепипед, куб,
призма, пирамида, конус, цилиндр, шар и сфера. Изображение пространственных фигур.
Примеры развёрток многогранников, цилиндра и конуса. Создание моделей
пространственных фигур (из бумаги, проволоки, пластилина и др.).
Понятие объёма; единицы измерения объёма. Объём прямоугольного
параллелепипеда, куба.

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
(ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
Освоение учебного курса «Математика» в 5 – 6 классах основной школы должно
обеспечивать достижение следующих предметных образовательных результатов:
5 класс
Числа и вычисления
➢ Понимать и правильно употреблять термины, связанные с натуральными числами,
обыкновенными и десятичными дробями.
➢ Сравнивать и упорядочивать натуральные числа, сравнивать в простейших случаях
обыкновенные дроби, десятичные дроби. Соотносить точку на координатной (числовой)
прямой с соответствующим ей числом и изображать натуральные числа точками на
координатной (числовой) прямой.
➢ Выполнять арифметические действия с натуральными числами, с обыкновенными
дробями в простейших случаях.
12

➢ Выполнять проверку, прикидку результата вычислений.
➢ Округлять натуральные числа.
Решение текстовых задач
➢ Решать текстовые задачи арифметическим способом и с помощью организованного
конечного перебора всех возможных вариантов.
➢ Решать задачи, содержащие зависимости, связывающие величины: скорость, время,
расстояние; цена, количество, стоимость.
➢ Использовать краткие записи, схемы, таблицы, обозначения при решении задач.
➢ Пользоваться основными единицами измерения: цены, массы; расстояния, времени,
скорости; выражать одни единицы величины через другие.
➢ Извлекать, анализировать, оценивать информацию, представленную в таблице, на
столбчатой диаграмме, интерпретировать представленные данные, использовать данные
при решении задач.
Наглядная геометрия
➢ Пользоваться геометрическими понятиями: точка, прямая, отрезок, луч, угол,
многоугольник, окружность, круг.
➢ Приводить примеры объектов окружающего мира, имеющих форму изученных
геометрических фигур.
➢ Использовать терминологию, связанную с углами: вершина сторона; с
многоугольниками: угол, вершина, сторона, диагональ; с окружностью: радиус, диаметр,
центр.
➢ Изображать изученные геометрические фигуры на нелинованной и клетчатой
бумаге с помощью циркуля и линейки.
➢ Находить длины отрезков непосредственным измерением с помощью линейки,
строить отрезки заданной длины; строить окружность заданного радиуса.
➢ Использовать свойства сторон и углов прямоугольника, квадрата для их построения,
вычисления площади и периметра.
➢ Вычислять периметр и площадь квадрата, прямоугольника, фигур, составленных из
прямоугольников, в том числе фигур, изображённых на клетчатой бумаге.
➢ Пользоваться основными метрическими единицами измерения длины, площади;
выражать одни единицы величины через другие.
➢ Распознавать параллелепипед, куб, использовать терминологию: вершина, ребро
грань, измерения; находить измерения параллелепипеда, куба.
➢ Вычислять объём куба, параллелепипеда по заданным измерениям, пользоваться
единицами измерения объёма.
➢ Решать несложные задачи на измерение геометрических величин в практических
ситуациях.
6 класс
Числа и вычисления
➢ Знать и понимать термины, связанные с различными видами чисел и способами их
записи, переходить (если это возможно) от одной формы записи числа к другой.
➢ Сравнивать и упорядочивать целые числа, обыкновенные и десятичные дроби,
сравнивать числа одного и разных знаков.
➢ Выполнять, сочетая устные и письменные приёмы, арифметические действия с
натуральными и целыми числами, обыкновенными и десятичными дробями,
положительными и отрицательными числами.
13

➢ Вычислять значения числовых выражений, выполнять прикидку и оценку результата
вычислений; выполнять преобразования числовых выражений на основе свойств
арифметических действий.
➢ Соотносить точку на координатной прямой с соответствующим ей числом и
изображать числа точками на координатной прямой, находить модуль числа.
➢ Соотносить точки в прямоугольной системе координат с координатами этой точки.
➢ Округлять целые числа и десятичные дроби, находить приближения чисел.
Числовые и буквенные выражения
➢ Понимать и употреблять термины, связанные с записью степени числа, находить
квадрат и куб числа, вычислять значения числовых выражений, содержащих степени.
➢ Пользоваться признаками делимости, раскладывать натуральные числа на простые
множители.
➢ Пользоваться масштабом, составлять пропорции и отношения.
➢ Использовать буквы для обозначения чисел при записи математических выражений,
составлять буквенные выражения и формулы, находить значения буквенных выражений,
осуществляя необходимые подстановки и преобразования.
➢ Находить неизвестный компонент равенства.
Решение текстовых задач
➢ Решать многошаговые текстовые задачи арифметическим способом.
➢ Решать задачи, связанные с отношением, пропорциональностью величин,
процентами; решать три основные задачи на дроби и проценты.
➢ Решать задачи, содержащие зависимости, связывающие величины: скорость, время,
расстояние, цена, количество, стоимость; производительность, время, объёма работы,
используя арифметические действия, оценку, прикидку; пользоваться единицами
измерения соответствующих величин.
➢ Составлять буквенные выражения по условию задачи. Извлекать информацию,
представленную в таблицах, на линейной, столбчатой или круговой диаграммах,
интерпретировать представленные данные; использовать данные при решении задач.
➢ Представлять информацию с помощью таблиц, линейной и столбчатой диаграмм.
Наглядная геометрия
➢ Приводить примеры объектов окружающего мира, имеющих форму изученных
геометрических плоских и пространственных фигур, примеры равных и симметричных
фигур. Изображать с помощью циркуля, линейки, транспортира на нелинованной и
клетчатой бумаге изученные плоские геометрические фигуры и конфигурации,
симметричные фигуры.
➢ Пользоваться геометрическими понятиями: равенство фигур, симметрия;
использовать терминологию, связанную с симметрией: ось симметрии, центр симметрии.
➢ Находить величины углов измерением с помощью транспортира, строить углы
заданной величины, пользоваться при решении задач градусной мерой углов; распознавать
на чертежах острый, прямой, развёрнутый и тупой углы.
➢ Вычислять длину ломаной, периметр многоугольника, пользоваться единицами
измерения длины, выражать одни единицы измерения длины через другие.
➢ Находить, используя чертёжные инструменты, расстояния: между двумя точками, от
точки до прямой, длину пути на квадратной сетке.
➢ Вычислять площадь фигур, составленных из прямоугольников, использовать
разбиение на прямоугольники, на равные фигуры, достраивание до прямоугольника;
14

пользоваться основными единицами измерения площади; выражать одни единицы
измерения площади через другие.
➢ Распознавать на моделях и изображениях пирамиду, конус, цилиндр, использовать
терминологию: вершина, ребро, грань, основание, развёртка.
➢ Изображать на клетчатой бумаге прямоугольный параллелепипед.
➢ Вычислять объём прямоугольного параллелепипеда, куба, пользоваться основными
единицами измерения объёма; выражать одни единицы измерения объёма через другие.
Решать несложные задачи на нахождение геометрических величин в практических
ситуациях.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
5 КЛАСС
(170 часов; 5 часов в неделю)
Название раздела
(темы) курса (число
часов)
Натуральные числа.
Действия с
натуральными
числами
(43 ч)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

Десятичная система счисления. Ряд
натуральных чисел. Натуральный ряд.
Число
0.
Натуральные
числа
на
координатной
прямой.
Сравнение,
округление натуральных чисел.
Арифметические
действия
с
натуральными числами. Свойства нуля при
сложении и умножении, свойства единицы
при умножении. Переместительное и
сочетательное свойства сложения и
умножения, распределительное свойство
умножения.
Делители и кратные числа, разложение
числа на множители. Деление с остатком.
Простые и составные числа. Признаки
делимости на 2, 5, 10, 3, 9.
Степень с натуральным показателем.
Числовые
выражения;
порядок
действий.
Решение текстовых задач на все
арифметические действия, на движение и
покупки.

Читать, записывать, сравнивать натуральные числа; предлагать и
обсуждать способы упорядочивания чисел.
Изображать координатную прямую, отмечать числа точками на
координатной прямой, находить координаты точки.
Исследовать свойства натурального ряда, чисел 0 и 1 при сложении и
умножении.
Использовать правило округления натуральных чисел.
Выполнять арифметические действия с натуральными числами,
вычислять значения числовых выражений со скобками и без скобок.
Записывать произведение в виде степени, читать степени, использовать
терминологию (основание, показатель), вычислять значения степеней.
Выполнять прикидку и оценку значений числовых выражений,
предлагать и применять приёмы проверки вычислений.
Использовать при вычислениях переместительное и сочетательное
свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения;
формулировать и применять правила преобразования числовых выражений на
основе свойств арифметических действий.
Исследовать числовые закономерности, выдвигать и обосновывать
гипотезы, формулировать обобщения и выводы по результатам проведённого
исследования.
Формулировать определения делителя и кратного, называть делители и
кратные числа; распознавать простые и составные числа; формулировать и
применять признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10; применять алгоритм
разложения числа на простые множители; находить остатки от деления и
неполное частное.
Распознавать истинные и ложные высказывания о натуральных числах,
приводить примеры и контрпримеры, строить высказывания и отрицания
высказываний о свойствах натуральных чисел.

Название раздела
(темы) курса (число
часов)

Основное содержание

Наглядная
геометрия. Линии
на плоскости (12 ч)

Точка, прямая, отрезок, луч.
Ломаная. Измерение длины отрезка,
метрические единицы измерения
длины. Окружность и круг.
Практическая работа «Построение
узора из окружностей».
Угол. Прямой, острый, тупой и
развёрнутый
углы.
Измерение
углов.
Практическая работа «Построение
углов»

Обыкновенные
дроби (48 ч)

Дробь.
неправильные

Правильные
и
дроби. Основное

Основные виды деятельности обучающихся
Конструировать математические предложения с помощью связок «и»,
«или», «если…, то…».
Решать текстовые задачи арифметическим способом, использовать
зависимости между величинами (скорость, время, расстояние; цена, количество,
стоимость и др.): анализировать и осмысливать текст задачи,
переформулировать условие, извлекать необходимые данные, устанавливать
зависимости между величинами, строить логическую цепочку рассуждений.
Моделировать ход решения задачи с помощью рисунка, схемы, таблицы.
Приводить, разбирать, оценивать различные решения, записи решений
текстовых задач.
Критически
оценивать
полученный
результат,
осуществлять
самоконтроль, проверяя ответ на соответствие условию, находить ошибки.
Решать задачи с помощью перебора всех возможных вариантов.
Знакомиться с историей развития арифметики
Распознавать на чертежах, рисунках, описывать, используя
терминологию, и изображать с помощью чертёжных инструментов:
точку, прямую, отрезок, луч, угол, ломаную, окружность.
Распознавать, приводить примеры объектов реального мира,
имеющих форму изученных фигур, оценивать их линейные размеры.
Использовать линейку и транспортир как инструменты для
построения и измерения: измерять длину отрезка, величину угла;
строить отрезок заданной длины, угол, заданной величины;
откладывать циркулем равные отрезки, строить окружность
заданного радиуса.
Изображать конфигурации геометрических фигур из отрезков,
окружностей, их частей на нелинованной и клетчатой бумаге;
предлагать, описывать и обсуждать способы, алгоритмы
построения.
Распознавать и изображать на нелинованной и клетчатой бумаге
прямой, острый, тупой, развёрнутый углы; сравнивать углы.
Вычислять длины отрезков, ломаных.
Понимать и использовать при решении задач зависимости между
единицами метрической системы мер; знакомиться с не метрическими
системами мер; выражать длину в различных единицах измерения.
Исследовать фигуры и конфигурации, используя цифровые ресурсы
Моделировать в графической, предметной форме, с помощью
компьютера понятия и свойства, связанные с обыкновенной дробью.

Название раздела
(темы) курса (число
часов)

Основное содержание
свойство дроби. Сравнение дробей.
Сложение
и
вычитание
обыкновенных дробей. Смешанная
дробь.
Умножение
и
деление
обыкновенных дробей; взаимнообратные дроби.
Решение
текстовых
задач,
содержащих
дроби.
Основные
задачи на дроби.
Применение букв для записи
математических
выражений
и
предложений

Наглядная
геометрия.
Многоугольники
(10 ч)

Многоугольники.
Четырёхугольник,
прямоугольник,
квадрат.
Практическая
работа
«Построение
прямоугольника
с
заданными
сторонами
на

Основные виды деятельности обучающихся
Читать и записывать, сравнивать обыкновенные дроби,
предлагать, обосновывать и обсуждать способы упорядочивания
дробей.
Изображать обыкновенные дроби точками на координатной
прямой; использовать координатную прямую для сравнения дробей.
Формулировать, записывать с помощью букв основное свойство
обыкновенной дроби; использовать основное свойство дроби для
сокращения дробей и приведения дроби к новому знаменателю.
Представлять смешанную дробь в виде неправильной и
выделять целую часть числа из неправильной дроби.
Выполнять арифметические действия с обыкновенными дробями;
применять свойства арифметических действий для рационализации
вычислений.
Выполнять прикидку и оценку результата вычислений;
предлагать и применять приёмы проверки вычислений.
Проводить исследования свойств дробей, опираясь на числовые
эксперименты (в том числе с помощью компьютера).
Распознавать истинные и ложные высказывания о дробях,
приводить примеры и контрпримеры, строить высказывания и
отрицания высказываний.
Решать текстовые задачи, содержащие дробные данные, и задачи
на нахождение части целого и целого по его части; выявлять их
сходства и различия.
Моделировать ход решения задачи с помощью рисунка, схемы,
таблицы.
Приводить, разбирать, оценивать различные решения, записи
решений текстовых задач.
Критически оценивать полученный результат, осуществлять
самоконтроль, проверяя ответ на соответствие условию, находить
ошибки.
Знакомиться с историей развития арифметики
Описывать, используя терминологию, изображать с помощью
чертёжных инструментов и от руки, моделировать из бумаги
многоугольники.
Приводить примеры объектов реального мира, имеющих форму
многоугольника,
прямоугольника,
квадрата,
треугольника,
оценивать их линейные размеры.

Название раздела
(темы) курса (число
часов)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

нелинованной бумаге».
Треугольник.
Площадь
и
периметр
прямоугольника и многоугольников,
составленных из прямоугольников,
единицы
измерения
площади.
Периметр многоугольника.

Десятичные дроби
(38 ч)

Вычислять:
периметр
треугольника,
прямоугольника,
многоугольника; площадь прямоугольника, квадрата.
Изображать остроугольные, прямоугольные и тупоугольные
треугольники.
Строить на нелинованной и клетчатой бумаге квадрат и
прямоугольник с заданными длинами сторон.
Исследовать
свойства
прямоугольника,
квадрата
путём
эксперимента, наблюдения, измерения, моделирования; сравнивать
свойства квадрата и прямоугольника.
Конструировать математические предложения с помощью связок
«некоторый», «любой». Распознавать истинные и ложные
высказывания о многоугольниках, приводить примеры и
контрпримеры.
Исследовать зависимость площади квадрата от длины его
стороны.
Использовать свойства квадратной сетки для построения фигур;
разбивать прямоугольник на квадраты, треугольники; составлять
фигуры из квадратов и прямоугольников и находить их площадь,
разбивать фигуры на прямоугольники и квадраты и находить их
площадь.
Выражать величину площади в различных единицах измерения
метрической системы мер, понимать и использовать зависимости
между метрическими единицами измерения площади.
Знакомиться с примерами применения площади и периметра в
практических ситуациях. Решать задачи из реальной жизни, предлагать
и обсуждать различные способы решения задач.
Десятичная
запись
дробей.
Представлять десятичную дробь в виде обыкновенной, читать и
Сравнение десятичных дробей.
записывать, сравнивать десятичные дроби, предлагать, обосновывать и
Действия
с
десятичными обсуждать способы упорядочивания десятичных дробей.
дробями. Округление десятичных
Изображать десятичные дроби точками на координатной прямой.
дробей.
Выявлять сходства и различия правил арифметических действий с
Решение
текстовых
задач, натуральными числами и десятичными дробями, объяснять их.
содержащих дроби. Основные задачи
Выполнять арифметические действия с десятичными дробями;
на дроби
выполнять прикидку и оценку результата вычислений.
Применять свойства арифметических действий для рационализации
вычислений.
Применять правило округления десятичных дробей. Проводить

Название раздела
(темы) курса (число
часов)

Наглядная
геометрия. Тела и
фигуры в
пространстве (9 ч)

Повторение и
обобщение (10 ч)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

исследования свойств десятичных дробей, опираясь на числовые
эксперименты (в том числе с помощью компьютера), выдвигать гипотезы и
приводить их обоснования.
Распознавать истинные и ложные высказывания о дробях, приводить
примеры и контрпримеры, строить высказывания и отрицания
высказываний.
Решать текстовые задачи, содержащие дробные данные, и на
нахождение части целого и целого по его части; выявлять их сходства и
различия.
Моделировать ход решения задачи с помощью рисунка, схемы,
таблицы. Приводить, разбирать, оценивать различные решения, записи
решений текстовых задач.
Оперировать дробными числами в реальных жизненных ситуациях.
Критически оценивать полученный результат, осуществлять
самоконтроль, проверяя ответ на соответствие условию, находить ошибки.
Знакомиться с историей развития арифметики
Многогранники.
Изображение
Распознавать на чертежах, рисунках, в окружающем мире
многогранников.
Модели прямоугольный параллелепипед, куб, многогранники, описывать, используя
пространственных тел.
терминологию, оценивать линейные размеры.
Прямоугольный параллелепипед,
Приводить примеры объектов реального мира, имеющих форму
куб. Развёртки куба и
многогранника, прямоугольного параллелепипеда, куба.
параллелепипеда.
Изображать куб на клетчатой бумаге.
Практическая работа «Развёртка
Исследовать свойства куба, прямоугольного параллелепипеда,
куба».
многогранников, используя модели.
Объём куба, прямоугольного
Распознавать и изображать развёртки куба и параллелепипеда.
параллелепипеда
Моделировать куб и параллелепипед из бумаги и прочих материалов,
объяснять способ моделирования.
Находить измерения, вычислять площадь поверхности; объём куба,
прямоугольного параллелепипеда; исследовать зависимость объёма куба от
длины его ребра, выдвигать и обосновывать гипотезу.
Наблюдать и проводить аналогии между понятиями площади и объёма,
периметра и площади поверхности. Распознавать истинные и ложные
высказывания о многогранниках, приводить примеры и контрпримеры,
строить высказывания и отрицания высказываний.
Решать задачи из реальной жизни
Повторение основных понятий и
Вычислять значения выражений, содержащих натуральные числа,
методов курса 5 класса, обобщение обыкновенные и десятичные дроби, выполнять преобразования чисел.

Название раздела
(темы) курса (число
часов)

Основное содержание
знаний

Основные виды деятельности обучающихся
Выбирать способ сравнения чисел, вычислений, применять свойства
арифметических действий для рационализации вычислений.
Осуществлять самоконтроль выполняемых действий и самопроверку
результата вычислений.
Решать задачи из реальной жизни, применять математические знания
для решения задач из других учебных предметов.
Решать задачи разными способами, сравнивать способы решения
задачи, выбирать рациональный способ

6 КЛАСС
(170 часов; 5 часов в неделю)
Название раздела
(темы) курса (число
часов)
Натуральные числа
(30 ч)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

Арифметические
действия
с
многозначными натуральными числами.
Числовые выражения, порядок действий,
использование
скобок.
Округление
натуральных чисел.
Делители
и
кратные
числа;
наибольший общий делитель и наименьшее
общее кратное.
Разложение
числа
на
простые
множители.
Делимость
суммы
и
произведения. Деление с остатком.
Решение текстовых задач.

Выполнять арифметические действия с многозначными натуральными
числами, находить значения числовых выражений со скобками и без скобок;
вычислять значения выражений, содержащих степени.
Выполнять прикидку и оценку значений числовых выражений, применять
приёмы проверки результата.
Использовать при вычислениях переместительное и сочетательное
свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения
относительно сложения, свойства арифметических действий.
Исследовать числовые закономерности, проводить числовые эксперименты,
выдвигать и обосновывать гипотезы.
Формулировать определения делителя и кратного, наибольшего общего
делителя и наименьшего общего кратного, простого и составного чисел;
использовать эти понятия при решении задач.
Применять алгоритмы вычисления наибольшего общего делителя и
наименьшего общего кратного двух чисел, алгоритм разложения числа на простые
множители.
Исследовать условия делимости на 4 и 6. Исследовать, обсуждать,
формулировать и обосновывать вывод о чётности суммы, произведения: двух
чётных чисел, двух нечётных числе, чётного и нечётного чисел.
Исследовать свойства делимости суммы и произведения чисел.
Приводить примеры чисел с заданными свойствами, распознавать верные
и неверные утверждения о свойствах чисел, опровергать неверные утверждения
с помощью контрпримеров.
Конструировать математические предложения с помощью связок «и»,
«или», «если…, то…».
Решать
текстовые
задачи,
включающие
понятия
делимости,
арифметическим способом, использовать перебор всех возможных вариантов.
Моделировать ход решения задачи с помощью рисунка, схемы, таблицы.
Приводить, разбирать, оценивать различные решения, записи решений
текстовых задач.
Критически оценивать полученный результат, находить ошибки,

Название раздела
(темы) курса (число
часов)
Наглядная
геометрия.
Прямые на
плоскости (7 ч)

Дроби (32 ч)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

осуществлять самоконтроль, проверяя ответ на соответствие условию.
Перпендикулярные
прямые.
Распознавать на чертежах, рисунках случаи взаимного расположения двух
Параллельные прямые.
прямых.
Расстояние между двумя точками, от
Изображать с помощью чертёжных инструментов на нелинованной и
точки до прямой, длина пути на квадратной клетчатой бумаге две пересекающиеся прямые, две параллельные прямые,
сетке.
строить прямую, перпендикулярную данной.
Примеры прямых в пространстве
Приводить примеры параллельности и перпендикулярности прямых в
пространстве.
Распознавать в многоугольниках перпендикулярные и параллельные
стороны. Изображать многоугольники с параллельными, перпендикулярными
сторонами.
Находить расстояние между двумя точками, от точки до прямой, длину пути
на квадратной сетке, в том числе используя цифровые ресурсы.
Обыкновенная
дробь,
основное
Сравнивать и упорядочивать дроби, выбирать способ сравнения дробей.
свойство дроби, сокращение дробей.
Представлять десятичные дроби в виде обыкновенных дробей и
Сравнение и упорядочивание дробей.
обыкновенные
в
виде
десятичных,
использовать
эквивалентные
Десятичные дроби и метрическая представления дробных чисел при их сравнении, при вычислениях.
система мер.
Использовать десятичные дроби при преобразовании величин в
Арифметические
действия
с метрической системе мер.
обыкновенными и десятичными дробями.
Выполнять арифметические действия с обыкновенными и десятичными
Отношение. Деление в данном дробями.
отношении. Масштаб, пропорция.
Вычислять значения выражений, содержащих обыкновенные и десятичные
Понятие
процента.
Вычисление дроби, выполнять преобразования дробей, выбирать способ, применять
процента от величины и величины по её свойства арифметических действий для рационализации вычислений.
проценту.
Составлять отношения и пропорции, находить отношение величин, делить
Решение текстовых задач, содержащих величину в данном отношении. Находить экспериментальным путём
дроби и проценты.
отношение длины окружности к её диаметру.
Практическая работа «Отношение
Интерпретировать масштаб как отношение величин, находить масштаб
длины окружности к её диаметру»
плана, карты и вычислять расстояния, используя масштаб.
Объяснять, что такое процент, употреблять обороты речи со словом
«процент». Выражать проценты в дробях и дроби в процентах, отношение двух
величин в процентах.
Вычислять процент от числа и число по его проценту. Округлять дроби и
проценты, находить приближения чисел.
Решать задачи на части, проценты, пропорции, на нахождение дроби
(процента) от величины и величины по её дроби (проценту), дроби (процента),
который составляет одна величина от другой. Приводить, разбирать, оценивать

Название раздела
(темы) курса (число
часов)

Основное содержание

Наглядная
геометрия.
Симметрия (6 ч)

Осевая
симметрия.
Центральная
симметрия.
Построение
симметричных
фигур.
Практическая
работа
«Осевая
симметрия».
Симметрия в пространстве

Выражения с
буквами (6 ч)

Применение
букв
для
записи
математических
выражений
и
предложений. Буквенные выражения и
числовые подстановки.
Буквенные равенства, нахождение
неизвестного компонента.
Формулы

Наглядная
геометрия.
Фигуры
на плоскости (14 ч)

Четырёхугольник,
примеры
четырёхугольников.
Прямоугольник,
квадрат:
свойства
сторон,
углов,
диагоналей.
Измерение
углов.
Виды
треугольников.
Периметр многоугольника. Площадь
фигуры. Формулы периметра и площади
прямоугольника. Приближённое измерение
площади фигур.

Основные виды деятельности обучающихся
различные решения, записи решений текстовых задач.
Извлекать информацию из таблиц и диаграмм, интерпретировать
табличные данные, определять наибольшее и наименьшее из представленных
данных
Распознавать на чертежах и изображениях, изображать от руки, строить с
помощью инструментов фигуру (отрезок, ломаную, треугольник, прямоугольник,
окружность), симметричную данной относительно прямой, точки.
Находить примеры симметрии в окружающем мире. Моделировать из
бумаги две фигуры, симметричные относительно прямой; конструировать
геометрические конфигурации, используя свойство симметрии, в том числе с
помощью цифровых ресурсов.
Исследовать свойства изученных фигур, связанные с симметрией, используя
эксперимент, наблюдение, моделирование.
Обосновывать, опровергать с помощью контрпримеров утверждения о
симметрии фигур
Использовать буквы для обозначения чисел, при записи математических
утверждений, составлять буквенные выражения по условию задачи.
Исследовать несложные числовые закономерности, использовать буквы для
их записи.
Вычислять числовое значение буквенного выражения при заданных
значениях букв.
Записывать формулы: периметра и площади прямоугольника, квадрата;
длины окружности, площади круга; выполнять вычисления по этим формулам.
Составлять формулы, выражающие зависимости между величинами:
скорость, время, расстояние; цена, количество, стоимость; производительность,
время, объём работы; выполнять вычисления по этим формулам.
Находить неизвестный компонент арифметического действия.
Изображать на нелинованной и клетчатой бумаге с использованием
чертёжных инструментов четырёхугольники с заданными свойствами: с
параллельными, перпендикулярными, равными сторонами, прямыми углами и
др., равнобедренный треугольник. Предлагать и обсуждать способы,
алгоритмы построения.
Исследовать, используя эксперимент, наблюдение, моделирование,
свойства прямоугольника, квадрата, разбивать на треугольники. Обосновывать,
опровергать с помощью контрпримеров утверждения о прямоугольнике,
квадрате, распознавать верные и неверные утверждения.
Измерять и строить с помощью транспортира углы, в том числе в

Название раздела
(темы) курса (число
часов)

Положительные и
отрицательные
числа
(40 ч)

Представление
данных
(6 ч)

Наглядная
геометрия.
Фигуры
в пространстве
(9 ч)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

Практическая работа «Площадь круга» многоугольнике, сравнивать углы; распознавать острые, прямые, тупые,
развёрнутые углы. Распознавать, изображать остроугольный, прямоугольный,
тупоугольный, равнобедренный, равносторонний треугольники.
Вычислять периметр многоугольника, площадь многоугольника
разбиением на прямоугольники, на равные фигуры, использовать метрические
единицы измерения длины и площади.
Использовать приближённое измерение длин и площадей на клетчатой
бумаге, приближённое измерение длины окружности, площади круга
Целые
числа.
Модуль
числа,
Приводить примеры использования в реальной жизни положительных и
геометрическая интерпретация модуля. отрицательных чисел.
Числовые промежутки.
Изображать целые числа, положительные и отрицательные числа точками
Положительные и отрицательные на числовой прямой, использовать числовую прямую для сравнения чисел.
числа. Сравнение положительных и
Применять правила сравнения, упорядочивать целые числа; находить
отрицательных чисел. Арифметические модуль числа.
действия
с
положительными
и
Формулировать
правила
вычисления
с
положительными
и
отрицательными числами.
отрицательными числами, находить значения числовых выражений,
Решение текстовых задач
содержащих действия с положительными и отрицательными числами.
Применять свойства сложения и умножения для преобразования сумм и
произведений
Прямоугольная система координат на
Объяснять и иллюстрировать понятие прямоугольной системы координат
плоскости.
Координаты
точки
на на плоскости, использовать терминологию; строить на координатной плоскости
плоскости, абсцисса и ордината.
точки и фигуры по заданным координатам, находить координаты точек.
Столбчатые и круговые диаграммы.
Читать столбчатые и круговые диаграммы; интерпретировать данные;
Практическая работа «Построение строить столбчатые диаграммы.
диаграмм».
Использовать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах
Решение текстовых задач, содержащих для решения текстовых задач и задач из реальной жизни
данные, представленные в таблицах и на
диаграммах
Прямоугольный параллелепипед, куб,
Распознавать на чертежах, рисунках, описывать пирамиду, призму,
призма, пирамида, конус, цилиндр, шар и цилиндр, конус, шар, изображать их от руки, моделировать из бумаги,
сфера. Изображение пространственных пластилина, проволоки и др. Приводить примеры объектов окружающего мира,
фигур.
Примеры
развёрток имеющих формы названных тел.
многогранников, цилиндра и конуса.
Использовать терминологию: вершина, ребро, грань, основание, высота,
Практическая
работа
«Создание радиус и диаметр, развёртка.
моделей пространственных фигур».
Изучать, используя эксперимент, наблюдение, измерение, моделирование, в
Понятие объёма; единицы измерения том числе компьютерное, и описывать свойства названных тел, выявлять
объёма.
Объём
прямоугольного сходства и различия: между пирамидой и призмой; между цилиндром, конусом

Название раздела
(темы) курса (число
часов)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

параллелепипеда, куба, формулы объёма

Повторение,
обобщение,
систематизация
(20 ч)

и шаром.
Распознавать развёртки параллелепипеда, куба, призмы, пирамиды, конуса,
цилиндра; конструировать данные тела из развёрток, создавать их модели.
Создавать модели пространственных фигур (из бумаги, проволоки, пластилина
и др.)
Измерять на моделях: длины рёбер многогранников, диаметр шара.
Выводить формулу объёма прямоугольного параллелепипеда.
Вычислять по формулам: объём прямоугольного параллелепипеда, куба;
использовать единицы измерения объёма; вычислять объёмы тел, составленных
из кубов, параллелепипедов; решать задачи с реальными данными
Повторение основных понятий и
Вычислять значения выражений, содержащих натуральные, целые,
методов курсов 5 и 6 классов, обобщение и положительные и отрицательные числа, обыкновенные и десятичные дроби,
систематизация знаний
выполнять преобразования чисел и выражений.
Выбирать способ сравнения чисел, вычислений, применять свойства
арифметических действий для рационализации вычислений.
Решать задачи из реальной жизни, применять математические знания для
решения задач из других предметов.
Решать задачи разными способами, сравнивать, выбирать способы
решения задачи.
Осуществлять самоконтроль выполняемых действий и самопроверку
результата вычислений.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «АЛГЕБРА». 7-9
КЛАССЫ
ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА
Алгебра является одним из опорных курсов основной школы: она обеспечивает изучение
других дисциплин, как естественнонаучного, так и гуманитарного циклов, её освоение необходимо
для продолжения образования и в повседневной жизни. Развитие у обучающихся научных
представлений о происхождении и сущности алгебраических абстракций, способе отражения
математической наукой явлений и процессов в природе и обществе, роли математического
моделирования в научном познании и в практике способствует формированию научного
мировоззрения и качеств мышления, необходимых для адаптации в современном цифровом
обществе. Изучение алгебры естественным образом обеспечивает развитие умения наблюдать,
сравнивать, находить закономерности, требует критичности мышления, способности
аргументированно обосновывать свои действия и выводы, формулировать утверждения. Освоение
курса алгебры обеспечивает развитие логического мышления обучающихся: они используют
дедуктивные и индуктивные рассуждения, обобщение и конкретизацию, абстрагирование и
аналогию. Обучение алгебре предполагает значительный объём самостоятельной деятельности
обучающихся, поэтому самостоятельное решение задач естественным образом является
реализацией деятельностного принципа обучения.
В структуре программы учебного курса «Алгебра» основной школы основное место
занимают содержательно-методические линии: «Числа и вычисления»; «Алгебраические
выражения»; «Уравнения и неравенства»; «Функции». Каждая из этих содержательнометодических линий развивается на протяжении трёх лет изучения курса, естественным образом
переплетаясь и взаимодействуя с другими его линиями. В ходе изучения курса обучающимся
приходится логически рассуждать, использовать теоретико-множественный язык. В связи с этим
целесообразно включить в программу некоторые основы логики, пронизывающие все основные
разделы математического образования и способствующие овладению обучающимися основ
универсального математического языка. Таким образом, можно утверждать, что содержательной
и структурной особенностью курса «Алгебра» является его интегрированный характер.
Содержание линии «Числа и вычисления» служит основой для дальнейшего изучения
математики, способствует развитию у обучающихся логического мышления, формированию
умения пользоваться алгоритмами, а также приобретению практических навыков, необходимых
для повседневной жизни. Развитие понятия о числе в основной школе связано с рациональными и
иррациональными числами, формированием представлений о действительном числе. Завершение
освоения числовой линии отнесено к старшему звену общего образования.
Содержание двух алгебраических линий – «Алгебраические выражения» и «Уравнения и
неравенства» способствует формированию у обучающихся математического аппарата,
необходимого для решения задач математики, смежных предметов и практико-ориентированных
задач. В основной школе учебный материал группируется вокруг рациональных выражений.
Алгебра демонстрирует значение математики как языка для построения математических моделей,
описания процессов и явлений реального мира. В задачи обучения алгебре входят также
дальнейшее развитие алгоритмического мышления, необходимого, в частности, для освоения
курса информатики, и овладение навыками дедуктивных рассуждений. Преобразование
символьных форм вносит свой специфический вклад в развитие воображения, способностей к
математическому творчеству.
Содержание функционально-графической линии нацелено на получение школьниками
знаний о функциях как важнейшей математической модели для описания и исследования
разнообразных процессов и явлений в природе и обществе. Изучение этого материала способствует
развитию у обучающихся умения использовать различные выразительные средства языка
математики – словесные, символические, графические, вносит вклад в формирование
представлений о роли математики в развитии цивилизации и культуры.
27

МЕСТО УЧЕБНОГО КУРСА В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
Согласно учебному плану в 7 – 9 классах изучается учебный курс «Алгебра», который
включает следующие основные разделы содержания: «Числа и вычисления», «Алгебраические
выражения», «Уравнения и неравенства», «Функции».
Учебный план на изучение алгебры в 7 – 9 классах отводит не менее 3 учебных часов в
неделю в течение каждого года обучения, всего за три года обучения – не менее 306 учебных часов.

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА
7 класс
Числа и вычисления
Рациональные числа
Дроби обыкновенные и десятичные, переход от одной формы записи дробей к другой.
Понятие рационального числа, запись, сравнение, упорядочивание рациональных чисел.
Арифметические действия с рациональными числами. Решение задач из реальной практики на
части, на дроби.
Степень с натуральным показателем: определение, преобразование выражений на основе
определения, запись больших чисел.
Проценты, запись процентов в виде дроби и дроби в виде процентов. Три основные задачи
на проценты, решение задач из реальной практики.
Применение признаков делимости, разложение на множители натуральных чисел.
Реальные зависимости, в том числе прямая и обратная пропорциональности.
Алгебраические выражения
Переменные, числовое значение выражения с переменной. Допустимые значения
переменных. Представление зависимости между величинами в виде формулы. Вычисления по
формулам.
Преобразование буквенных выражений, тождественно равные выражения, правила
преобразования сумм и произведений, правила раскрытия скобок и приведения подобных
слагаемых.
Свойства степени с натуральным показателем.
Одночлены и многочлены. Степень многочлена. Сложение, вычитание, умножение
многочленов. Формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и квадрат разности. Формула
разности квадратов. Разложение многочленов на множители.
Уравнения
Уравнение, корень уравнения, правила преобразования уравнения, равносильность
уравнений.
Линейное уравнение с одной переменной, число корней линейного уравнения, решение
линейных уравнений. Составление уравнений по условию задачи. Решение текстовых задач с
помощью уравнений.
Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Система двух линейных уравнений
с двумя переменными. Решение систем уравнений способом подстановки. Примеры решения
текстовых задач с помощью систем уравнений.
Координаты и графики. Функции
Координата точки на прямой. Числовые промежутки. Расстояние между двумя точками
координатной прямой.
Прямоугольная система координат, оси Ох и Оу. Абсцисса и ордината точки на
координатной плоскости. Примеры графиков, заданных формулами. Чтение графиков реальных
зависимостей.
Понятие функции. График функции. Свойства функций. Линейная функция, её график.
График функции y = x . Графическое решение линейных уравнений и систем линейных
уравнений.
8 класс
28

Числа и вычисления
Квадратный корень из числа. Понятие об иррациональном числе. Десятичные приближения
иррациональных чисел. Свойства арифметических квадратных корней и их применение к
преобразованию числовых выражений и вычислениям. Действительные числа.
Степень с целым показателем и её свойства. Стандартная запись числа.
Алгебраические выражения
Квадратный трёхчлен; разложение квадратного трёхчлена на множители.
Алгебраическая дробь. Основное свойство алгебраической дроби. Сложение, вычитание,
умножение, деление алгебраических дробей. Рациональные выражения и их преобразование.
Уравнения и неравенства
Квадратное уравнение, формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Решение
уравнений, сводящихся к линейным и квадратным. Простейшие дробно-рациональные уравнения.
Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными и систем линейных
уравнений с двумя переменными. Примеры решения систем нелинейных уравнений с двумя
переменными.
Решение текстовых задач алгебраическим способом.
Числовые неравенства и их свойства. Неравенство с одной переменной. Равносильность
неравенств. Линейные неравенства с одной переменной. Системы линейных неравенств с одной
переменной.
Функции
Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Способы задания
функций.
График функции. Чтение свойств функции по её графику. Примеры графиков функций,
отражающих реальные процессы.
Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональные зависимости, их графики.
Функции у = х2, у = х3, у = х , y = x . Графическое решение уравнений и систем уравнений.
9 класс
Числа и вычисления
Действительные числа
Рациональные числа, иррациональные числа, конечные и бесконечные десятичные дроби.
Множество действительных чисел; действительные числа как бесконечные десятичные дроби.
Взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и координатной
прямой.
Сравнение действительных чисел, арифметические действия с действительными числами.
Измерения, приближения, оценки
Размеры объектов окружающего мира, длительность процессов в окружающем мире.
Приближённое значение величины, точность приближения. Округление чисел. Прикидка и
оценка результатов вычислений.
Уравнения и неравенства
Уравнения с одной переменной
Линейное уравнение. Решение уравнений, сводящихся к линейным.
Квадратное уравнение. Решение уравнений, сводящихся к квадратным. Биквадратное
уравнение. Примеры решения уравнений третьей и четвёртой степеней разложением на
множители.
Решение дробно-рациональных уравнений.
Решение текстовых задач алгебраическим методом.
Системы уравнений
Уравнение с двумя переменными и его график. Решение систем двух линейных уравнений
с двумя переменными. Решение систем двух уравнений, одно из которых линейное, а другое –
второй степени. Графическая интерпретация системы уравнений с двумя переменными.
Решение текстовых задач алгебраическим способом.
29

Неравенства
Числовые неравенства и их свойства.
Решение линейных неравенств с одной переменной. Решение систем линейных неравенств
с одной переменной. Квадратные неравенства. Графическая интерпретация неравенств и систем
неравенств с двумя переменными.
Функции
Квадратичная функция, её график и свойства. Парабола, координаты вершины параболы,
ось симметрии параболы.
k
Графики функций: у = kх, у = kx + b, у = , у = х3, y = x , y = x и их свойства.
x
Числовые последовательности
Определение и способы задания числовых последовательностей
Понятие числовой последовательности. Задание последовательности рекуррентной
формулой и формулой n-го члена. Арифметическая и геометрическая прогрессии
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы п-го члена арифметической и
геометрической прогрессий, суммы первых п членов.
Изображение членов арифметической и геометрической прогрессий точками на
координатной плоскости. Линейный и экспоненциальный рост. Сложные проценты.

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Освоение учебного курса «Алгебра» на уровне основного общего образования должно
обеспечивать достижение следующих предметных образовательных результатов:
7 класс
Числа и вычисления
➢ Выполнять, сочетая устные и письменные приёмы, арифметические действия с
рациональными числами.
➢ Находить значения числовых выражений; применять разнообразные способы и приёмы
вычисления значений дробных выражений, содержащих обыкновенные и десятичные дроби.
➢ Переходить от одной формы записи чисел к другой (преобразовывать десятичную дробь в
обыкновенную, обыкновенную в десятичную, в частности в бесконечную десятичную дробь).
➢ Сравнивать и упорядочивать рациональные числа.
➢ Округлять числа.
➢ Выполнять прикидку и оценку результата вычислений, оценку значений числовых
выражений.
➢ Выполнять действия со степенями с натуральными показателями.
➢ Применять признаки делимости, разложение на множители натуральных чисел.
➢ Решать практико-ориентированные задачи, связанные с отношением величин,
пропорциональностью величин, процентами; интерпретировать результаты решения задач с
учётом ограничений, связанных со свойствами рассматриваемых объектов.
Алгебраические выражения
➢ Использовать алгебраическую терминологию и символику, применять её в процессе
освоения учебного материала.
➢ Находить значения буквенных выражений при заданных значениях переменных.
➢ Выполнять преобразования целого выражения в многочлен приведением подобных
слагаемых, раскрытием скобок. Выполнять умножение одночлена на многочлен и многочлена на
многочлен, применять формулы квадрата суммы и квадрата разности.

➢ Осуществлять разложение многочленов на множители с помощью вынесения за скобки
общего множителя, группировки слагаемых, применения формул сокращённого умножения.
➢ Применять преобразования многочленов для решения различных задач из математики,
смежных предметов, из реальной практики.
➢ Использовать свойства степеней с натуральными показателями для преобразования
выражений.
Уравнения и неравенства
➢ Решать линейные уравнения с одной переменной, применяя правила перехода от исходного
уравнения к равносильному ему. Проверять, является ли число корнем уравнения.
➢ Применять графические методы при решении линейных уравнений и их систем.
➢ Подбирать примеры пар чисел, являющихся решением линейного уравнения с двумя
переменными.
➢ Строить в координатной плоскости график линейного уравнения с двумя переменными;
пользуясь графиком, приводить примеры решения уравнения.
➢ Решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными, в том числе графически.
➢ Составлять и решать линейное уравнение или систему линейных уравнений по условию
задачи, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат.
Координаты и графики. Функции
➢ Изображать на координатной прямой точки, соответствующие заданным координатам,
лучи, отрезки, интервалы; записывать числовые промежутки на алгебраическом языке.
➢ Отмечать в координатной плоскости точки по заданным координатам; строить графики
линейных функций. Строить график функции y = x .
➢ Описывать с помощью функций известные зависимости между величинами: скорость,
время, расстояние; цена, количество, стоимость; производительность, время, объём работы.
➢ Находить значение функции по значению её аргумента.
➢ Понимать графический способ представления и анализа информации; извлекать и
интерпретировать информацию из графиков реальных процессов и зависимостей.
8 класс
Числа и вычисления
➢ Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения,
округления и вычислений; изображать действительные числа точками на координатной прямой.
➢ Применять понятие арифметического квадратного корня; находить квадратные корни,
используя при необходимости калькулятор; выполнять преобразования выражений, содержащих
квадратные корни, используя свойства корней. Использовать записи больших и малых чисел с
помощью десятичных дробей и степеней числа 10.
Алгебраические выражения
➢ Применять понятие степени с целым показателем, выполнять преобразования выражений,
содержащих степени с целым показателем.
➢ Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил
действий над многочленами и алгебраическими дробями.
➢ Раскладывать квадратный трёхчлен на множители.
➢ Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики,
смежных предметов, из реальной практики.
Уравнения и неравенства
➢ Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним,
системы двух уравнений с двумя переменными.
31

➢ Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с
применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система
уравнений решения, если имеет, то сколько, и пр.).
➢ Переходить от словесной формулировки задачи к её алгебраической модели с помощью
составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом
задачи полученный результат.
➢ Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки; решать линейные
неравенства с одной переменной и их системы; давать графическую иллюстрацию множества
решений неравенства, системы неравенств.
Функции
Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические
обозначения); определять значение функции по значению аргумента; определять свойства
функции по её графику.
k
Строить графики элементарных функций вида y = , у = х2, у = х3, y = x , y = x ;
x
описывать свойства числовой функции по её графику.
9 класс
Числа и вычисления
➢ Сравнивать и упорядочивать рациональные и иррациональные числа.
➢ Выполнять арифметические действия с рациональными числами, сочетая устные и
письменные приёмы, выполнять вычисления с иррациональными числами.
➢ Находить значения степеней с целыми показателями и корней; вычислять значения
числовых выражений.
➢ Округлять действительные числа, выполнять прикидку результата вычислений, оценку
числовых выражений.
Уравнения и неравенства
➢ Решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к ним, простейшие
дробно-рациональные уравнения.
➢ Решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными и системы двух
уравнений, в которых одно уравнение не является линейным.
➢ Решать текстовые задачи алгебраическим способом с помощью составления уравнения или
системы двух уравнений с двумя переменными.
➢ Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с
применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система
уравнений решения, если имеет, то сколько, и пр.).
➢ Решать линейные неравенства, квадратные неравенства; изображать решение неравенств на
числовой прямой, записывать решение с помощью символов.
➢ Решать системы линейных неравенств, системы неравенств, включающие квадратное
неравенство; изображать решение системы неравенств на числовой прямой, записывать решение с
помощью символов.
➢ Использовать неравенства при решении различных задач.
Функции

➢ Распознавать функции изученных видов. Показывать схематически расположение на
k
координатной плоскости графиков функций вида: y = kx, y = kx + b, y = , y = ax2 + bx + c,
x

y = x3 , y = x , y = x в зависимости от значений коэффициентов; описывать свойства функций.
➢ Строить и изображать схематически графики квадратичных функций, описывать свойства
квадратичных функций по их графикам
➢ Распознавать квадратичную функцию по формуле, приводить примеры квадратичных
функций из реальной жизни, физики, геометрии.
Арифметическая и геометрическая прогрессии
➢ Распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии при разных способах задания.
➢ Выполнять вычисления с использованием формул n-го члена арифметической и
геометрической прогрессий, суммы первых п членов.
➢ Изображать члены последовательности точками на координатной плоскости.
➢ Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе задачи из
реальной жизни (с использованием калькулятора, цифровых технологий).

7 КЛАСС
(102 часа; 3 часа в неделю)
Название раздела
(темы)
Основное содержание
курса (число часов)
Числа и вычисления.
Понятие
рационального
числа.
Рациональные числа Арифметические
действия
с
(25 ч)
рациональными числами.
Сравнение,
упорядочивание
рациональных чисел.
Степень с натуральным показателем.
Решение основных задач на дроби,
проценты из реальной практики.
Признаки делимости, разложения на
множители натуральных чисел.
Реальные зависимости. Прямая и
обратная пропорциональности.

Основные виды деятельности обучающихся
Систематизировать и обогащать знания об обыкновенных и десятичных
дробях.
Сравнивать и упорядочивать дроби, преобразовывая при необходимости
десятичные дроби в обыкновенные, обыкновенные в десятичные, в частности в
бесконечную десятичную дробь.
Применять разнообразные способы и приёмы вычисления значений
дробных выражений, содержащих обыкновенные и десятичные дроби: заменять
при необходимости десятичную дробь обыкновенной и обыкновенную
десятичной, приводить выражение к форме, наиболее удобной для вычислений,
преобразовывать дробные выражения на умножение и деление десятичных
дробей к действиям с целыми числами.
Приводить числовые и буквенные примеры степени с натуральным
показателем, объясняя значения основания степени и показателя степени,
находить значения степеней вида an (a – любое рациональное число, n –
натуральное число).
Понимать смысл записи больших чисел с помощью десятичных дробей и
степеней числа 10, применять их в реальных ситуациях.
Применять признаки делимости, разложения на множители натуральных
чисел.
Решать задачи на части, проценты, пропорции, на нахождение дроби
(процента) от величины и величины по её дроби (проценту), дроби (процента),
который составляет одна величина от другой.
Приводить, разбирать, оценивать различные решения, записи решений
текстовых задач.
Распознавать и объяснять, опираясь на определения, прямо
пропорциональные и обратно пропорциональные зависимости между
величинами; приводить примеры этих зависимостей из реального мира, из
других учебных предметов.
Решать практико-ориентированные задачи на дроби, проценты, прямую и
обратную пропорциональности, пропорции.

Название раздела
(темы)
курса (число часов)
Алгебраические
выражения
(27 ч)

Уравнения
и неравенства
(20 ч)

Координаты и
графики. Функции
(24 ч)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

Буквенные выражения. Переменные.
Допустимые
значения
переменных.
Формулы.
Преобразование
буквенных
выражений,
раскрытие
скобок
и
приведение подобных слагаемых.
Свойства степени с натуральным
показателем.
Многочлены. Сложение, вычитание,
умножение
многочленов.
Формулы
сокращённого умножения. Разложение
многочленов на множители

Овладеть алгебраической терминологией и символикой, применять её в
процессе освоения учебного материала.
Находить значения буквенных выражений при заданных значениях букв;
выполнять вычисления по формулам.
Выполнять преобразования целого выражения в многочлен приведением
подобных слагаемых, раскрытием скобок.
Выполнять умножение одночлена на многочлен и многочлена на многочлен,
применять формулы квадрата суммы и квадрата разности.
Осуществлять разложение многочленов на множители путём вынесения за
скобки общего множителя, применения формулы разности квадратов, формул
сокращённого умножения.
Применять преобразование многочленов для решения различных задач из
математики, смежных предметов, из реальной практики.
Знакомиться с историей развития математики.
Решать линейное уравнение с одной переменной, применяя правила
перехода от исходного уравнения к равносильному ему более простого вида.
Проверять, является ли конкретное число корнем уравнения.
Подбирать примеры пар чисел, являющихся решением линейного уравнения
с двумя переменными. Строить в координатной плоскости график линейного
уравнения с двумя переменными; пользуясь графиком, приводить примеры
решения уравнения.
Находить решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Составлять и решать уравнение или систему уравнений по условию задачи,
интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат
Изображать на координатной прямой точки, соответствующие заданным
координатам, лучи, отрезки, интервалы; записывать их на алгебраическом языке.
Отмечать в координатной плоскости точки по заданным координатам;
строить графики несложных зависимостей, заданных формулами, в том числе с
помощью цифровых лабораторий.
Применять, изучать преимущества, интерпретировать графический способ
представления и анализа разнообразной жизненной информации.
Осваивать понятие функции, овладевать функциональной терминологией.
Распознавать линейную функцию y = kx + b, описывать её свойства в
зависимости от значений коэффициентов k и b.
Строить графики линейной функции, функции y = x .

Уравнение, правила преобразования
уравнения, равносильность уравнений.
Линейное
уравнение
с
одной
переменной, решение линейных уравнений.
Решение задач с помощью уравнений.
Линейное
уравнение
с
двумя
переменными и его график. Система двух
линейных уравнений с двумя переменными.
Решение систем уравнений способом
подстановки и способом сложения
Координата
точки
на
прямой.
Числовые промежутки. Расстояние между
двумя точками координатной прямой.
Прямоугольная система координат на
плоскости. Примеры графиков, заданных
формулами. Чтение графиков реальных
зависимостей.
Понятие функции. График функции.
Свойства функций. Линейная функция.
Построение графика линейной функции.
График функции y = x .

Название раздела
(темы)
курса (число часов)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся
Использовать цифровые ресурсы для построения графиков функций и
изучения их свойств. Приводить примеры линейных зависимостей в реальных
процессах и явлениях

Повторение и
обобщение (6 ч)

Повторение основных понятий и
Выбирать, применять оценивать способы сравнения чисел, вычислений,
методов курса 7 класса, обобщение знаний преобразований выражений, решения уравнений.
Осуществлять самоконтроль выполняемых действий и самопроверку
результата вычислений, преобразований, построений.
Решать задачи из реальной жизни, применять математические знания для
решения задач из других предметов.
Решать текстовые задачи, сравнивать, выбирать способы решения задачи

8 КЛАСС
(102 часа; 3 часа в неделю)
Название раздела
(темы)
курса (число часов)
Числа и
вычисления.
Квадратные корни
(15 ч)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

Квадратный корень из числа. Понятие
Формулировать определение квадратного корня из числа, арифметического
об иррациональном числе. Десятичные квадратного корня.
приближения
иррациональных
чисел.
Применять операцию извлечения квадратного корня из числа, используя при
Действительные
числа.
Сравнение необходимости калькулятор.
действительных чисел. Арифметический
Оценивать квадратные корни целыми числами и десятичными дробями.
квадратный корень.
Сравнивать и упорядочивать рациональные и иррациональные числа,
2
записанные
с помощью квадратных корней.
Уравнение вида х = а. Свойства

Исследовать уравнение х = а , находить точные и приближённые корни при
арифметических
квадратных
корней.
Преобразование числовых выражений, a > 0.
содержащих квадратные корни
Исследовать свойства квадратных корней, проводя числовые эксперименты с
использованием калькулятора (компьютера).
Доказывать свойства арифметических квадратных корней; применять их для
преобразования выражений.
Выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни.
Выражать переменные из геометрических и физических формул.
Вычислять значения выражений, содержащих квадратные корни, используя
при необходимости калькулятор.
Использовать в ходе решения задач элементарные представления, связанные
с приближёнными значениями величин.
Знакомиться с историей развития математики.
Числа и
Степень с целым показателем.
Формулировать определение степени с целым показателем.
вычисления.
Стандартная запись числа.
Представлять запись больших и малых чисел в стандартном виде.
Степень
Размеры объектов окружающего мира
Сравнивать числа и величины, записанные с использованием степени 10.
с целым показателем (от элементарных частиц до космических
Использовать запись чисел в стандартном виде для выражения размеров
(7 ч)
объектов), длительность процессов в объектов, длительности процессов в окружающем мире.
окружающем мире.
Формулировать, записывать в символической форме и иллюстрировать
Свойства степени с целым показателем примерами свойства степени с целым показателем.
Применять свойства степени для преобразования выражений, содержащих
степени с целым показателем. Выполнять действия с числами, записанными в
стандартном виде (умножение, деление, возведение в степень)
2

Название раздела
(темы)
курса (число часов)
Алгебраические
выражения.
Квадратный
трёхчлен
(5 ч)
Алгебраические
выражения.
Алгебраическая
дробь
(15 ч)

Уравнения
и неравенства.
Квадратные
уравнения
(15 ч)

Уравнения
и неравенства.
Системы уравнений
(13 ч)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

Квадратный трёхчлен. Разложение
Распознавать квадратный трёхчлен, устанавливать возможность его
квадратного трёхчлена на множители
разложения на множители.
Раскладывать на множители квадратный трёхчлен с неотрицательным
дискриминантом
Алгебраическая дробь. Допустимые
значения
переменных,
входящих
в
алгебраические выражения. Основное
свойство
алгебраической
дроби.
Сокращение дробей.
Сложение, вычитание, умножение и
деление
алгебраических
дробей.
Преобразование выражений, содержащих
алгебраические дроби
Квадратное уравнение. Неполное
квадратное уравнение. Формула корней
квадратного уравнения. Теорема Виета.
Решение уравнений, сводящихся к
квадратным.
Простейшие
дробнорациональные уравнения.
Решение текстовых задач с помощью
квадратных уравнений

Линейное
уравнение
с
двумя
переменными, его график, примеры
решения уравнений в целых числах.
Решение систем двух линейных
уравнений с двумя переменными. Примеры
решения систем нелинейных уравнений с
двумя переменными.
Графическая
интерпретация

Записывать алгебраические выражения.
Находить область определения рационального выражения.
Выполнять числовые подстановки и вычислять значение дроби, в том числе
с помощью калькулятора.
Формулировать основное свойство алгебраической дроби и применять его
для преобразования дробей.
Выполнять
действия
с
алгебраическими
дробями.
Применять
преобразования выражений для решения задач. Выражать переменные из
формул (физических, геометрических, описывающих бытовые ситуации)
Распознавать квадратные уравнения.
Записывать формулу корней квадратного уравнения; решать квадратные
уравнения – полные и неполные.
Проводить простейшие исследования квадратных уравнений.
Решать уравнения, сводящиеся к квадратным, с помощью преобразований и
заменой переменной.
Наблюдать и анализировать связь между корнями и коэффициентами
квадратного уравнения.
Формулировать теорему Виета, а также обратную теорему, применять эти
теоремы для решения задач.
Решать текстовые задачи алгебраическим способом: переходить от
словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путём
составления уравнения; решать составленное уравнение; интерпретировать
результат.
Знакомиться с историей развития алгебры.
Распознавать линейные уравнения с двумя переменными.
Строить графики линейных уравнений, в том числе используя цифровые
ресурсы.
Различать параллельные и пересекающиеся прямые по их уравнениям.
Решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными
подстановкой и сложением.
Решать простейшие системы, в которых одно из уравнений не является
линейным.

Название раздела
(темы)
курса (число часов)

Уравнения
и неравенства.
Неравенства (12 ч)

Функции.
Основные
понятия
(5 ч)

Функции.
Числовые
функции
(9 ч)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

уравнения с двумя переменными и систем
уравнений с двумя переменными.
Решение текстовых задач с помощью
систем уравнений
Числовые неравенства и их свойства.
Неравенство с одной переменной.
Линейные неравенства с одной переменной
и их решение. Системы линейных
неравенств с одной переменной и их
решение.
Изображение решения линейного
неравенства и их систем на числовой
прямой
Понятие функции.
Область
определения и множество значений
функции. Способы задания функций.
График функции. Свойства функции,
их отображение на графике

Приводить графическую интерпретацию решения уравнения с двумя
переменными и систем уравнений с двумя переменными.
Решать текстовые задачи алгебраическим способом.

Чтение и построение графиков
функций. Примеры графиков функций,
отражающих реальные процессы.
Функции, описывающие прямую и
обратную пропорциональные зависимости,
их графики. Гипербола.
График функции

у = х2 ,

Повторение и

у = х3 ,

Формулировать свойства числовых неравенств, иллюстрировать их на
координатной прямой, доказывать алгебраически.
Применять свойства неравенств в ходе решения задач.
Решать линейные неравенства с одной переменной, изображать решение
неравенства на числовой прямой.
Решать системы линейных неравенств, изображать решение системы
неравенств на числовой прямой.
Использовать функциональную терминологию и символику.
Вычислять значения функций, заданных формулами (при необходимости
использовать калькулятор); составлять таблицы значений функции.
Строить по точкам графики функций.
Описывать свойства функции на основе её графического представления.
Использовать функциональную терминологию и символику.
Исследовать примеры графиков, отражающих реальные процессы и явления.
Приводить примеры процессов и явлений с заданными свойствами.
Использовать компьютерные программы для построения графиков
функций и изучения их свойств
Находить с помощью графика функции значение одной из рассматриваемых
величин по значению другой.
В несложных случаях выражать формулой зависимость между величинами.
Описывать характер изменения одной величины в зависимости от изменения
другой.
Распознавать виды изучаемых функций. Показывать схематически

у = х 2 . Функции положение на координатной плоскости графиков функций вида: у = х 2 , у = х 3 ,

у= х,

у= х ;

у= х, у= х .

графическое решение уравнений и систем
Использовать функционально-графические представления для решения и
уравнений
исследования уравнений и систем уравнений.
Применять цифровые ресурсы для построения графиков функций
Повторение основных понятий и
Выбирать, применять, оценивать способы сравнения чисел, вычислений,

Название раздела
(темы)
курса (число часов)
обобщение (6 ч)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

методов курсов 7 и 8 классов, обобщение преобразований выражений, решения уравнений.
знаний
Осуществлять самоконтроль выполняемых действий и самопроверку
результата вычислений, преобразований, построений.
Решать задачи из реальной жизни, применять математические знания для
решения задач из других предметов.
Решать текстовые задачи, сравнивать, выбирать способы решения задачи

9 КЛАСС
(102 часа; 3 часа в неделю)
Название раздела
(темы)
курса (число часов)
Числа и вычисления.
Действительные
числа
(9 ч)

Уравнения
и неравенства.
Уравнения
с одной
переменной
(14 ч)

Уравнения
и неравенства.
Системы уравнений

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

Рациональные
числа,
иррациональные числа, конечные и
бесконечные
десятичные
дроби.
Множество
действительных
чисел;
действительные числа как бесконечные
десятичные дроби. Взаимно однозначное
соответствие
между
множеством
действительных чисел и множеством
точек координатной прямой.
Сравнение действительных чисел,
арифметические
действия
с
действительными числами.
Приближённое значение величины,
точность приближения.
Округление чисел. Прикидка и
оценка результатов вычислений

Развивать представления о числах: от множества натуральных чисел до
множества действительных чисел.
Ознакомиться с возможностью представления действительного числа как
бесконечной десятичной дроби, применять десятичные приближения
рациональных и иррациональных чисел.
Изображать действительные числа точками координатной прямой.
Записывать, сравнивать и упорядочивать действительные числа.
Выполнять, сочетая устные и письменные приёмы, арифметические
действия с рациональными числами; находить значения степеней с целыми
показателями и корней; вычислять значения числовых выражений.
Получить представление о значимости действительных чисел в практической
деятельности человека.
Анализировать и делать выводы о точности приближения действительного
числа при решении задач.
Округлять действительные числа, выполнять прикидку результата
вычислений, оценку значений числовых выражений.
Знакомиться с историей развития математики
Осваивать и применять приёмы решения системы двух линейных уравнений
с двумя переменными и системы двух уравнений, в которых одно уравнение не
является линейным.
Использовать функционально-графические представления для решения и
исследования уравнений и систем.
Анализировать тексты задач, решать их алгебраическим способом:
переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели
путём составления системы уравнений; решать состав ленную систему
уравнений; интерпретировать результат.
Знакомиться с историей развития математики

Линейное
уравнение.
Решение
уравнений, сводящихся к линейным.
Квадратное уравнение. Решение
уравнений, сводящихся к квадратным.
Биквадратные уравнения.
Примеры
решения
уравнений
третьей
и
четвёртой
степеней
разложением на множители.
Решение дробно-рациональных
уравнений.
Решение
текстовых
задач
алгебраическим методом
Линейное уравнение с двумя
Читать, записывать, понимать, интерпретировать неравенства;
переменными и его график.
использовать символику и терминологию.
Система двух линейных уравнений с
Выполнять преобразования неравенств, использовать для преобразования

Название раздела
(темы)
курса (число часов)
(14 ч)

Уравнения
и неравенства.
Неравенства (16 ч)

Функции (16 ч)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

двумя переменными и её решение.
Решение систем двух уравнений, одно из
которых линейное, а другое – второй
степени.
Графическая интерпретация системы
уравнений с двумя переменными.
Решение
текстовых
задач
алгебраическим способом

свойства числовых неравенств.
Распознавать линейные и квадратные неравенства.
Решать линейные неравенства, системы линейных неравенств, системы
неравенств, включающих квадратное неравенство, и решать их; обсуждать
полученные решения.
Изображать решение неравенства и системы неравенств на числовой прямой,
записывать решение с помощью символов.
Решать квадратные неравенства, используя графические представления.
Осваивать и применять неравенства при решении различных задач, в том
числе практико-ориентированных
Числовые неравенства и их свойства.
Распознавать виды изучаемых функций; иллюстрировать схематически,
Линейные неравенства с одной объяснять расположение на координатной плоскости графиков функций вида:
переменной и их решение.
k
2
3
Системы линейных неравенств с y = kx , y = kx + b , y = , y = ax , y = ax , y = x , y = x в зависимости от
x
одной переменной и их решение.
значений
коэффициентов;
описывать их свойства.
Квадратные неравенства и их
Распознавать
квадратичную
функцию по формуле.
решение.
Приводить
примеры
квадратичных
зависимостей из реальной жизни, физики,
Графическая
интерпретация
геометрии.
неравенств и систем неравенств с двумя
Выявлять и обобщать особенности графика квадратичной функции y = ax2 +
переменными
bx + c.
Строить и изображать схематически графики квадратичных функций,
заданных формулами вида y = ax2, y = ax2 + q, y = a(x + p)2, y = ax2 + bx + c.
Анализировать и применять свойства изученных функций для их
построения, в том числе с помощью цифровых ресурсов
Квадратичная функция, её график и
Осваивать и применять индексные обозначения, строить речевые
свойства. Парабола, координаты вершины высказывания с использованием терминологии, связанной с понятием
параболы, ось симметрии параболы. последовательности.
Степенные функции с натуральными
Анализировать формулу n-го члена последовательности или рекуррентную
показателями 2 и 3, их графики и свойства. формулу и вычислять члены последовательностей, заданных этими формулами.
Устанавливать закономерность в построении последовательности, если
y = kx ,
Графики функций:
выписаны первые несколько её членов.
k
Распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии при разных
y= ,
2
3
y = kx + b ,
x y = ax , y = ax , способах задания.
Решать задачи с использованием формул n-го члена арифметической и
y= x, y= x .
геометрической прогрессий, суммы первых n членов.
Изображать члены последовательности точками на координатной плоскости.

Название раздела
(темы)
курса (число часов)

Основное содержание

Числовые
последовательности
(15 ч)

Понятие
числовой
последовательности.
Задание
последовательности
рекуррентной формулой и формулой n-го
члена.
Арифметическая и геометрическая
прогрессии.
Формулы
n-го
члена
арифметической
и
геометрической
прогрессий, суммы первых n членов.
Изображение
членов
арифметической
и
геометрической
прогрессий точками на координатной
плоскости.
Линейный и экспоненциальный рост.
Сложные проценты

Повторение,
обобщение,
систематизация
знаний1
(18 ч)

Числа и вычисления (запись,
сравнение, действия с действительными
числами, числовая прямая; проценты,
отношения,
пропорции;
округление,
приближение, оценка; решение текстовых
задач арифметическим способом)

Основные виды деятельности обучающихся
Рассматривать примеры процессов и явлений из реальной жизни,
иллюстрирующие изменение в арифметической прогрессии, в геометрической
прогрессии; изображать соответствующие зависимости графически.
Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе
задачи из реальной жизни с использованием цифровых технологий (электронных
таблиц, графического калькулятора и т.п.).
Решать задачи на сложные проценты, в том числе задачи из реальной практики
(с использованием калькулятора).
Знакомиться с историей развития математики
Оперировать понятиями: множество, подмножество, операции над
множествами; использовать графическое представление множеств для описания
реальных процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов.
Актуализировать терминологию и основные действия, связанные с
числами: натуральное число, простое и составное числа, делимость натуральных
чисел, признаки делимости, целое число, модуль числа, обыкновенная и
десятичная дроби, стандартный вид числа, арифметический квадратный корень.
Выполнять действия, сравнивать и упорядочивать числа, представлять
числа на координатной прямой, округлять числа; выполнять прикидку и оценку
результата вычислений.
Решать текстовые задачи арифметическим способом. Решать практические
задачи, содержащие проценты, доли, части, выражающие зависимости: скорость
– время – расстояние, цена – количество – стоимость, объём работы – время –
производительность труда.
Разбирать реальные жизненные ситуации, формулировать их на языке
математики, находить решение, применяя математический аппарат,
интерпретировать результат
Оперировать понятиями: степень с целым показателем, арифметический
квадратный корень, многочлен, алгебраическая дробь, тождество.
Выполнять основные действия: выполнять расчёты по формулам,
преобразовывать целые, дробно-рациональные выражения и выражения с
корнями, реализовывать разложение многочлена на множители, в том числе с
использованием формул разности квадратов и квадрата суммы и разности;
находить допустимые значения переменных для дробно-рациональных
выражений, корней.
Моделировать с помощью формул реальные процессы и явления

Название раздела
(темы)
курса (число часов)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

Алгебраические
выражения
Оперировать понятиями: функция, график функции, нули функции,
(преобразование
алгебраических промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания, убывания, наибольшее
выражений, допустимые значения)
и наименьшее значения функции.
Анализировать, сравнивать, обсуждать свойства функций, строить их
графики.
Оперировать
понятиями:
прямая
пропорциональность,
обратная
пропорциональность, линейная функция, квадратичная функция, парабола,
гипербола.
Использовать графики для определения свойств, процессов и зависимостей,
для решения задач из других учебных предметов и реальной жизни;
моделировать с помощью графиков реальные процессы и явления.
Выражать формулами зависимости между величинами
Функции (построение, свойства
Читать, записывать, понимать, интерпретировать неравенства;
изученных
функций;
графическое использовать символику и терминологию.
решение уравнений и их систем)
Выполнять преобразования неравенств, использовать для преобразования
свойства числовых неравенств.
Распознавать линейные и квадратные неравенства.
Решать линейные неравенства, системы линейных неравенств, системы
неравенств, включающих квадратное неравенство, и решать их; обсуждать
полученные решения.
Изображать решение неравенства и системы неравенств на числовой прямой,
записывать решение с помощью символов.
Решать квадратные неравенства, используя графические представления.
Осваивать и применять неравенства при решении различных задач, в том
числе практико-ориентированных

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ». 7-9 КЛАССЫ
ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА
«Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит», – писал великий
русский ученый Михаил Васильевич Ломоносов. И в этом состоит одна из двух целей обучения
геометрии как составной части математики в школе. Этой цели соответствует доказательная
линия преподавания геометрии. Следуя представленной рабочей программе, начиная с
седьмого класса на уроках геометрии обучающийся учится проводить доказательные
рассуждения, строить логические умозаключения, доказывать истинные утверждения и
строить контрпримеры к ложным, проводить рассуждения «от противного», отличать свойства
от признаков, формулировать обратные утверждения. Ученик, овладевший искусством
рассуждать, будет применять его и в окружающей жизни. Как писал геометр и педагог Игорь
Федорович Шарыгин, «людьми, понимающими, что такое доказательство, трудно и даже
невозможно манипулировать». И в этом состоит важное воспитательное значение изучения
геометрии, присущее именно отечественной математической школе. Вместе с тем авторы
программы предостерегают учителя от излишнего формализма, особенно в отношении начал и
оснований геометрии. Французский математик Жан Дьедонне по этому поводу высказался так:
«Что касается деликатной проблемы введения «аксиом», то мне кажется, что на первых порах
нужно вообще избегать произносить само это слово. С другой же стороны, не следует упускать
ни одной возможности давать примеры логических заключений, которые куда в большей мере,
чем идея аксиом, являются истинными и единственными двигателями математического
мышления».
Второй целью изучения геометрии является использование её как инструмента при
решении как математических, так и практических задач, встречающихся в реальной жизни.
Окончивший курс геометрии школьник должен быть в состоянии определить геометрическую
фигуру, описать словами данный чертёж или рисунок, найти площадь земельного участка,
рассчитать необходимую длину оптоволоконного кабеля или требуемые размеры гаража для
автомобиля. Этому соответствует вторая, вычислительная линия в изучении геометрии в
школе. Данная практическая линия является не менее важной, чем первая. Ещё Платон
предписывал, чтобы «граждане Прекрасного города ни в коем случае не оставляли геометрию,
ведь немаловажно даже побочное её применение – в военном деле да, впрочем, и во всех науках
– для лучшего их усвоения: мы ведь знаем, какая бесконечная разница существует между
человеком причастным к геометрии и непричастным». Для этого учителю рекомендуется
подбирать задачи практического характера для рассматриваемых тем, учить детей строить
математические модели реальных жизненных ситуаций, проводить вычисления и оценивать
адекватность полученного результата. Крайне важно подчёркивать связи геометрии с другими
предметами, мотивировать использовать определения геометрических фигур и понятий,
демонстрировать применение полученных умений в физике и технике. Эти связи наиболее ярко
видны в темах «Векторы», «Тригонометрические соотношения», «Метод координат» и
«Теорема Пифагора».
МЕСТО УЧЕБНОГО КУРСА В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
Согласно учебному плану в 7 – 9 классах изучается учебный курс «Геометрия», который
включает следующие основные разделы содержания: «Геометрические фигуры и их свойства»,
«Измерение геометрических величин», а также «Декартовы координаты на плоскости»,
«Векторы», «Движения плоскости» и «Преобразования подобия».
Учебный план предусматривает изучение геометрии на базовом уровне, исходя из не
менее 68 учебных часов в учебном году, всего за три года обучения – не менее 204 часов.

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА
7 класс
Начальные понятия геометрии. Точка, прямая, отрезок, луч. Угол. Виды углов.
Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла. Ломаная, многоугольник. Параллельность и
перпендикулярность прямых.
Симметричные фигуры. Основные свойства осевой симметрии. Примеры симметрии в
окружающем мире.
Основные построения с помощью циркуля и линейки. Треугольник. Высота, медиана,
биссектриса, их свойства.
Равнобедренный и равносторонний треугольники. Неравенство треугольника.
Свойства и признаки равнобедренного треугольника. Признаки равенства треугольников.
Свойства и признаки параллельных прямых. Сумма углов треугольника. Внешние углы
треугольника.
Прямоугольный треугольник. Свойство медианы прямоугольного треугольника,
проведённой к гипотенузе. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Прямоугольный треугольник с углом в 30°.
Неравенства в геометрии: неравенство треугольника, неравенство о длине ломаной,
теорема о большем угле и большей стороне треугольника. Перпендикуляр и наклонная.
Геометрическое место точек. Биссектриса угла и серединный перпендикуляр к отрезку
как геометрические места точек.
Окружность и круг, хорда и диаметр, их свойства. Взаимное расположение окружности и
прямой. Касательная и секущая к окружности. Окружность, вписанная в угол. Вписанная и
описанная окружности треугольника.
8 класс
Четырёхугольники. Параллелограмм, его признаки и свойства. Частные случаи
параллелограммов (прямоугольник, ромб, квадрат), их признаки и свойства. Трапеция,
равнобокая трапеция, её свойства и признаки. Прямоугольная трапеция.
Метод удвоения медианы. Центральная симметрия. Теорема Фалеса и теорема о
пропорциональных отрезках.
Средние линии треугольника и трапеции. Центр масс треугольника.
Подобие треугольников, коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников.
Применение подобия при решении практических задач.
Свойства площадей геометрических фигур. Формулы для площади треугольника,
параллелограмма, ромба и трапеции. Отношение площадей подобных фигур.
Вычисление площадей треугольников и многоугольников на клетчатой бумаге.
Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора при решении практических задач.
Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Основное
тригонометрическое тождество. Тригонометрические функции углов в 30°, 45° и 60°.
Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой. Углы между хордами
и секущими. Вписанные и описанные четырёхугольники. Взаимное расположение двух
окружностей. Касание окружностей. Общие касательные к двум окружностям.
9 класс
Синус, косинус, тангенс углов от 0 до 180°. Основное тригонометрическое тождество.
Формулы приведения.
Решение треугольников. Теорема косинусов и теорема синусов. Решение практических
задач с использованием теоремы косинусов и теоремы синусов.
Преобразование подобия. Подобие соответственных элементов.
Теорема о произведении отрезков хорд, теоремы о произведении отрезков секущих,
теорема о квадрате касательной.
46

Вектор, длина (модуль) вектора, сонаправленные векторы, противоположно
направленные векторы, коллинеарность векторов, равенство векторов, операции над
векторами. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора.
Скалярное произведение векторов, применение для нахождения длин и углов.
Декартовы координаты на плоскости. Уравнения прямой и окружности в координатах,
пересечение окружностей и прямых. Метод координат и его применение.
Правильные многоугольники. Длина окружности. Градусная и радианная мера угла,
вычисление длин дуг окружностей. Площадь круга, сектора, сегмента.
Движения плоскости и внутренние симметрии фигур (элементарные представления).
Параллельный перенос. Поворот.

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Освоение учебного курса «Геометрия» на уровне основного общего образования должно
обеспечивать достижение следующих предметных образовательных результатов:
7 класс
➢ Распознавать изученные геометрические фигуры, определять их взаимное
расположение, изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задачи.
Измерять линейные и угловые величины. Решать задачи на вычисление длин отрезков и
величин углов.
➢ Делать грубую оценку линейных и угловых величин предметов в реальной жизни,
размеров природных объектов. Различать размеры этих объектов по порядку величины.
➢ Строить чертежи к геометрическим задачам.
➢ Пользоваться признаками равенства треугольников, использовать признаки и свойства
равнобедренных треугольников при решении задач.
➢ Проводить логические рассуждения с использованием геометрических теорем.
➢ Пользоваться признаками равенства прямоугольных треугольников, свойством
медианы, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника, в решении геометрических
задач.
➢ Определять параллельность прямых с помощью углов, которые образует с ними
секущая. Определять параллельность прямых с помощью равенства расстояний от точек одной
прямой до точек другой прямой.
➢ Решать задачи на клетчатой бумаге.
➢ Проводить вычисления и находить числовые и буквенные значения углов в
геометрических задачах с использованием суммы углов треугольников и многоугольников,
свойств углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей. Решать
практические задачи на нахождение углов.
➢ Владеть понятием геометрического места точек. Уметь определять биссектрису угла и
серединный перпендикуляр к отрезку как геометрические места точек.
➢ Формулировать определения окружности и круга, хорды и диаметра окружности,
пользоваться их свойствами. Уметь применять эти свойства при решении задач.
➢ Владеть понятием описанной около треугольника окружности, уметь находить её центр.
Пользоваться фактами о том, что биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке,
и о том, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
➢ Владеть понятием касательной к окружности, пользоваться теоремой о
перпендикулярности касательной и радиуса, проведённого к точке касания.
➢ Пользоваться простейшими геометрическими неравенствами, понимать их
практический смысл.
➢ Проводить основные геометрические построения с помощью циркуля и линейки.
8 класс
47

➢ Распознавать основные виды четырёхугольников, их элементы, пользоваться их
свойствами при решении геометрических задач.
➢ Применять свойства точки пересечения медиан треугольника (центра масс) в решении
задач.
➢ Владеть понятием средней линии треугольника и трапеции, применять их свойства при
решении геометрических задач. Пользоваться теоремой Фалеса и теоремой о
пропорциональных отрезках, применять их для решения практических задач.
➢ Применять признаки подобия треугольников в решении геометрических задач.
➢ Пользоваться теоремой Пифагора для решения геометрических и практических задач.
Строить математическую модель в практических задачах, самостоятельно делать чертёж и
находить соответствующие длины.
➢ Владеть понятиями синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного
треугольника. Пользоваться этими понятиями для решения практических задач.
➢ Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных
фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором). Применять полученные умения в
практических задачах.
➢ Владеть понятиями вписанного и центрального угла, использовать теоремы о
вписанных углах, углах между хордами (секущими) и угле между касательной и хордой при
решении геометрических задач.
➢ Владеть понятием описанного четырёхугольника, применять свойства описанного
четырёхугольника при решении задач.
Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач
реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и
тригонометрии (пользуясь, где необходимо, калькулятором).
9 класс
➢ Знать тригонометрические функции острых углов, находить с их помощью различные
элементы прямоугольного треугольника («решение прямоугольных треугольников»). Находить
(с помощью калькулятора) длины и углы для нетабличных значений.
➢ Пользоваться формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством для
нахождения соотношений между тригонометрическими величинами.
➢ Использовать теоремы синусов и косинусов для нахождения различных элементов
треугольника («решение треугольников»), применять их при решении геометрических задач.
➢ Владеть понятиями преобразования подобия, соответственных элементов подобных
фигур. Пользоваться свойствами подобия произвольных фигур, уметь вычислять длины и
находить углы у подобных фигур. Применять свойства подобия в практических задачах. Уметь
приводить примеры подобных фигур в окружающем мире.
➢ Пользоваться теоремами о произведении отрезков хорд, о произведении отрезков
секущих, о квадрате касательной.
➢ Пользоваться векторами, понимать их геометрический и физический смысл, применять
их в решении геометрических и физических задач. Применять скалярное произведение
векторов для нахождения длин и углов.
➢ Пользоваться методом координат на плоскости, применять его в решении
геометрических и практических задач.
➢ Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги
окружности и радианной меры угла, уметь вычислять площадь круга и его частей. Применять
полученные умения в практических задачах.
➢ Находить оси (или центры) симметрии фигур, применять движения плоскости в
простейших случаях.
6 Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач
реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и
тригонометрических функций (пользуясь, где необходимо, калькулятором).
48

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

7 класс
(68 часов; 2 часа в неделю)
Название раздела
(темы) курса (число
часов)
Простейшие
геометрические
фигуры
и их свойства.
Измерение
геометрических
величин
(14 ч)

Треугольники
(22 ч)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

Простейшие геометрические объекты:
Формулировать основные понятия и определения.
точки, прямые, лучи и углы, многоугольник,
Распознавать изученные геометрические фигуры, определять их взаимное
ломаная.
расположение, выполнять чертёж по условию задачи.
Смежные и вертикальные углы.
Проводить простейшие построения с помощью циркуля и линейки.
Работа с простейшими чертежами.
Измерять линейные и угловые величины геометрических и практических
Измерение линейных и угловых величин, объектов.
вычисление отрезков и углов.
Определять «на глаз» размеры реальных объектов, проводить грубую оценку
Периметр
и
площадь
фигур, их размеров.
составленных из прямоугольников.
Решать задачи на вычисление длин отрезков и величин углов.
Решать задачи на взаимное расположение геометрических фигур.
Проводить классификацию углов, вычислять линейные и угловые величины,
проводить необходимые доказательные рассуждения.
Знакомиться с историей развития геометрии
Понятие о равных треугольниках и
Распознавать пары равных треугольников на готовых чертежах (с указанием
первичные
представления
о
равных признаков).
(конгруэнтных) фигурах. Три признака
Выводить следствия (равенств соответствующих элементов) из равенств
равенства треугольников.
треугольников.
Признаки равенства прямоугольных
Формулировать определения: остроугольного, тупоугольного, прямоугольного,
треугольников.
Свойство
медианы равнобедренного, равностороннего треугольников; биссектрисы, высоты, медианы
прямоугольного треугольника.
треугольника; серединного перпендикуляра отрезка; периметра треугольника.
Равнобедренные
и
равносторонние
Формулировать свойства и признаки равнобедренного треугольника.
треугольники.
Признаки
и
свойства
Строить чертежи, решать задачи с помощью нахождения равных
равнобедренного треугольника.
треугольников.
Против большей стороны треугольника
Применять признаки равенства прямоугольных треугольников в задачах.
лежит
больший
угол.
Простейшие
Использовать цифровые ресурсы для исследования свойств изучаемых фигур.
неравенства в геометрии. Неравенство
Знакомиться с историей развития геометрии
треугольника. Неравенство ломаной.
Прямоугольный треугольник с углом в
30°.

Название раздела
(темы) курса (число
часов)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

Первые понятия о доказательствах в
геометрии.
Параллельные
прямые, сумма углов
треугольника (14 ч)

Окружность и круг.
Геометрические
построения
(14 ч)

Повторение,
обобщение
знаний
(4 ч)

Параллельные прямые, их свойства,
Пятый постулат Евклида.
Накрест лежащие, соответственные и
односторонние углы (образованные при
пересечении параллельных прямых секущей).
Признак параллельности прямых через
равенство расстояний от точек одной прямой
до второй прямой.
Сумма
углов
треугольника
и
многоугольника.
Внешние углы треугольника.
Окружность, хорды и диаметры, их
свойства.
Касательная к
окружности.
Окружность, вписанная в угол. Понятие о
ГМТ, применение в задачах. Биссектриса и
серединный
перпендикуляр
как
геометрические места точек.
Окружность,
описанная
около
треугольника. Вписанная в треугольник
окружность.
Простейшие задачи на построение

Формулировать понятие параллельных прямых, находить практические
примеры.
Изучать свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых
секущей.
Проводить доказательства параллельности двух прямых с помощью углов,
образованных при пересечении этих прямых третьей прямой. Вычислять сумму
углов треугольника и многоугольника.
Находить числовые и буквенные значения углов в геометрических задачах с
использованием теорем о сумме углов треугольника и многоугольника.
Знакомиться с историей развития геометрии

Формулировать определения: окружности, хорды, диаметра и
касательной к окружности.
Изучать их свойства, признаки, строить чертежи.
Исследовать, в том числе используя цифровые ресурсы: окружность,
вписанную в угол; центр окружности, вписанной в угол; равенство отрезков
касательных.
Использовать метод ГМТ для доказательства теорем о пересечении
биссектрис углов треугольника и серединных перпендикуляров к
сторонам треугольника с помощью ГМТ.
Овладевать понятиями вписанной и описанной окружностей
треугольника, находить центры этих окружностей.
Решать основные задачи на построение: угла, равного данному;
серединного перпендикуляра данного отрезка; прямой, проходящей через данную
точку и перпендикулярной данной прямой; биссектрисы данного угла;
треугольников по различным элементам.
Знакомиться с историей развития геометрии
Повторение и обобщение основных
Решать задачи на повторение, иллюстрирующие связи между различными
понятий и методов курса 7 класса
частями курса

8 класс
(68 часов; 2 часа в неделю)
Название раздела
(темы) курса (число
часов)
Четырёхугольники (12
ч)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

Параллелограмм, его признаки и
свойства.
Частные
случаи
параллелограммов (прямоугольник,
ромб, квадрат), их признаки и
свойства. Трапеция. Равнобокая и
прямоугольная трапеции.
Удвоение
медианы.
Центральная симметрия

Изображать и находить на чертежах четырёхугольники разных видов и
их элементы.
Формулировать определения: параллелограмма, прямоугольника, ромба,
квадрата, трапеции, равнобокой трапеции, прямоугольной трапеции.
Доказывать и использовать при решении задач признаки и свойства:
параллелограмма,
прямоугольника,
ромба,
квадрата,
трапеции,
равнобокой трапеции, прямоугольной трапеции.
Применять метод удвоения медианы треугольника.
Использовать цифровые ресурсы для исследования свойств
изучаемых фигур.
Знакомиться с историей развития геометрии
Проводить построения с помощью циркуля и линейки с использование
теоремы Фалеса и теоремы о пропорциональных отрезках, строить
четвёртый пропорциональный отрезок.
Проводить доказательство того, что медианы треугольника
пересекаются в одной точке, и находить связь с центром масс, находить
отношение, в котором медианы делятся точкой их пересечения.
Находить подобные треугольники на готовых чертежах с указанием
соответствующих признаков подобия.
Решать
задачи
на
подобные
треугольники
с
помощью
самостоятельного построения чертежей и нахождения подобных
треугольников.
Проводить доказательства с использованием признаков подобия.
Доказывать три признака подобия треугольников.
Применять полученные знания при решении геометрических и
практических задач.
Знакомиться с историей развития геометрии
Овладевать первичными представлениями об общей теории площади
(меры), формулировать свойства площади, выяснять их наглядный смысл.
Выводить формулы площади параллелограмма, треугольника,
трапеции из формулы площади прямоугольника (квадрата).

Теорема Фалеса и
теорема о
пропорциональных
отрезках, подобные
треугольники
(15 ч)

Теорема Фалеса и теорема о
пропорциональных отрезках.
Средняя линия треугольника.
Трапеция, её средняя линия.
Пропорциональные
отрезки,
построение
четвёртого
пропорционального отрезка.
Свойства
центра
масс
в
треугольнике.
Подобные треугольники. Три
признака подобия треугольников.
Практическое применение

Площадь. Нахождение
площадей
треугольников и
многоугольных фигур.

Понятие
об
общей
теории
площади.
Формулы
для
площади
треугольника,
параллелограмма.

Название раздела
(темы) курса (число
часов)
Площади подобных
фигур
(14 ч)

Основное содержание

Отношение
площадей
треугольников с общим основанием
или общей высотой.
Вычисление площадей сложных
фигур через разбиение на части и
достроение.
Площади фигур на клетчатой
бумаге.
Площади
подобных
фигур.
Вычисление площадей. Задачи с
практическим содержанием. Решение
задач
с
помощью
метода
вспомогательной площади
Теорема Пифагора и
Теорема
Пифагора,
её
начала тригонометрии доказательство
и
применение.
(10 ч)
Обратная теорема Пифагора.
Определение
тригонометрических функций острого
угла,
тригонометрические
соотношения
в
прямоугольном
треугольнике.
Основное
тригонометрическое
тождество.
Соотношения между сторонами в
прямоугольных
треугольниках
с
углами в 45° и 45°; 30° и 60°
Углы в окружности.
Вписанные
и описанные
четырехугольники.
Касательные
к окружности.
Касание окружностей
(13 ч)

Вписанные и центральные углы,
угол между касательной и хордой.
Углы
между
хордами
и
секущими.
Вписанные
и
описанные
четырёхугольники, их признаки и
свойства. Применение этих свойств
при решении геометрических задач.

Основные виды деятельности обучающихся
Выводить формулы площади выпуклого четырёхугольника через
диагонали и угол между ними. Находить площади фигур,
изображённых на клетчатой бумаге, использовать разбиение на части и
достроение.
Разбирать примеры использования вспомогательной площади для
решения геометрических задач.
Находить площади подобных фигур. Вычислять площади различных
многоугольных фигур.
Решать задачи на площадь с практическим содержанием

Доказывать теорему Пифагора, использовать её в практических
вычислениях.
Формулировать определения тригонометрических функций острого
угла, проверять их корректность.
Выводить тригонометрические соотношения в прямоугольном
треугольнике.
Исследовать соотношения между сторонами в прямоугольных
треугольниках с углами в 45° и 45°; 30° и 60°.
Использовать формулы приведения и основное тригонометрическое
тождество для нахождения соотношений между тригонометрическими
функциями различных острых углов.
Применять полученные знания и умения при решении практических
задач.
Знакомиться с историей развития геометрии
Формулировать основные определения, связанные с углами в круге
(вписанный угол, центральный угол).
Находить вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, вычислять
углы с помощью теоремы о вписанных углах, теоремы о вписанном
четырёхугольнике, теоремы о центральном угле.
Исследовать, в том числе с помощью цифровых ресурсов, вписанные и
описанные четырёхугольники, выводить их свойства и признаки.
Использовать эти свойства и признаки при решении задач

Название раздела
(темы) курса (число
часов)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

Взаимное расположение двух
окружностей. Касание окружностей
Повторение, обобщение
Повторение основных понятий и
знаний
методов курсов 7 и 8 классов,
(4 ч)
обобщение знаний

Решать задачи на повторение, иллюстрирующие связи между
различными частями курса

9 класс
(68 часов; 2 часа в неделю)
Название раздела
(темы) курса (число
часов)
Тригонометрия.
Теоремы косинусов и
синусов.
Решение
треугольников
(16 ч)

Преобразование
подобия. Метрические
соотношения
в окружности
(10 ч)

Векторы
(12 ч)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

Определение тригонометрических функций
углов от 0° до 180°.
Косинус и синус прямого и тупого угла.
Теорема косинусов. (Обобщённая) теорема
синусов (с радиусом описанной окружности).
Нахождение длин сторон и величин углов
треугольников.
Формула площади треугольника через две
стороны и угол между ними. Формула
площади
четырёхугольника
через
его
диагонали и угол между ними.
Практическое применение доказанных
теорем
Понятие о преобразовании подобия.
Соответственные
элементы
подобных
фигур.
Теорема о произведении отрезков хорд,
теорема о произведении отрезков секущих,
теорема о квадрате касательной. Применение в
решении геометрических задач

Формулировать определения тригонометрических функций
тупых и прямых углов.
Выводить теорему косинусов и теорему синусов (с радиусом
описанной окружности).
Решать треугольники.
Решать практические задачи, сводящиеся к нахождению
различных элементов треугольника

Определение
векторов,
сложение
и
разность векторов, умножение вектора на
число.
Физический и геометрический смысл
векторов.
Разложение
вектора
по
двум
неколлинеарным
векторам.
Координаты
вектора.

Осваивать понятие преобразования подобия.
Исследовать отношение линейных элементов фигур при
преобразовании подобия.
Находить
примеры
подобия
в
окружающей
действительности.
Выводить метрические соотношения между отрезками хорд,
секущих и касательных с использованием вписанных углов и
подобных треугольников.
Решать геометрические задачи и задачи из реальной жизни с
использованием подобных треугольников
Использовать
векторы
как
направленные
отрезки,
исследовать геометрический (перемещение) и физический (сила)
смыслы векторов.
Знать определения суммы и разности векторов, умножения
вектора на число, исследовать геометрический и физический
смыслы этих операций.
Решать геометрические задачи с использованием векторов.
Раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам.

Название раздела
(темы) курса (число
часов)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

Скалярное произведение векторов, его
применение для нахождения длин и углов.
Решение задач с помощью векторов.
Применение векторов для решения задач
кинематики и механики

Использовать скалярное произведение векторов, выводить
его основные свойства.
Вычислять сумму, разность и скалярное произведение
векторов в координатах.
Применять скалярное произведение для нахождения длин и
углов
Осваивать понятие прямоугольной системы координат,
декартовых координат точки.
Выводить уравнение прямой и окружности. Выделять полный
квадрат для нахождения центра и радиуса окружности по её
уравнению.
Решать задачи на нахождение точек пересечения прямых и
окружностей с помощью метода координат.
Использовать свойства углового коэффициента прямой при
решении задач, для определения расположения прямой.
Применять координаты при решении геометрических и
практических задач, для построения математических моделей
реальных задач («метод координат»).
Пользоваться для построения и исследований цифровыми
ресурсами.
Знакомиться с историей развития геометрии
Формулировать определение правильных многоугольников,
находить их элементы.
Пользоваться понятием длины окружности, введённым с
помощью правильных многоугольников, определять число π,
длину дуги и радианную меру угла.
Проводить переход от радианной меры угла к градусной и
наоборот.
Определять площадь круга.
Выводить формулы (в градусной и радианной мере) для длин
дуг, площадей секторов и сегментов.
Вычислять площади фигур, включающих элементы
окружности (круга).
Находить площади в задачах реальной жизни

Декартовы
координаты на
плоскости
(9 ч)

Декартовы
координаты
точек
на
плоскости.
Уравнение прямой. Угловой коэффициент,
тангенс угла наклона, параллельные и
перпендикулярные прямые.
Уравнение
окружности.
Нахождение
координат точек пересечения окружности и
прямой.
Метод
координат
при
решении
геометрических задач.
Использование
метода
координат
в
практических задачах

Правильные
многоугольники.
Длина окружности
и площадь круга.
Вычисление площадей
(8 ч)

Правильные многоугольники,
вычисление их элементов. Число π и длина
окружности.
Длина
дуги
окружности.
Радианная мера угла.
Площадь круга и его элементов (сектора и
сегмента). Вычисление площадей фигур,
включающих элементы круга

Название раздела
(темы) курса (число
часов)
Движения плоскости
(6 ч)

Повторение,
обобщение,
систематизация
знаний2
(7 ч)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

Понятие
о
движении
плоскости.
Параллельный перенос, поворот и симметрия.
Оси и центры симме трии.
Простейшие применения в реше нии задач

Разбирать примеры, иллюстрирующие понятия движения,
центров и осей симметрии.
Формулировать
определения
параллельного
переноса,
поворота и осевой симметрии. Выводить их свойства, находить
неподвижные точки.
Находить центры и оси симметрий простейших фигур.
Применять параллельный перенос и симметрию при
решении геометрических задач (разбирать примеры).
Использовать для построения и исследований цифровые
ресурсы
Оперировать понятиями: фигура, точка, прямая, угол,
многоугольник,
равнобедренный
и
равносторонний
треугольники,
прямоугольный
треугольник,
медиана,
биссектриса и высота треугольника, параллелограмм, ромб,
прямоугольник, квадрат, трапеция; окружность, касательная;
равенство и подобие фигур, треугольников; параллельность и
перпендикулярность
прямых,
угол
между
прямыми,
симметрия относительно точки и прямой; длина, расстояние,
величина угла, площадь, периметр.
Использовать
формулы:
периметра
и
площади
многоугольников, длины окружности и площади круга, объёма
прямоугольного параллелепипеда.
Оперировать понятиями: прямоугольная система координат,
вектор; использовать эти понятия для представления данных и
решения задач, в том числе из других учебных предметов.
Решать задачи на повторение основных понятий, иллюстрацию
связей между различными частями курса. Выбирать метод для
решения задачи.
Решать задачи из повседневной жизни

Повторение основных понятий и методов
курсов 7–9 классов, обобщение и систематизация
знаний. Простейшие геометрические фигуры и
их
свойства.
Измерение
геометрических
величин.
Треугольники.
Параллельные
и
перпендикулярные
прямые.
Окружность и круг. Геометрические
построения. Углы в окружности. Вписанные и
описанные окружности многоугольников.
Прямая
и
окружность.
Четырёхугольники. Вписанные и описанные
четырехугольники.
Теорема
Пифагора
и
начала
тригонометрии. Решение общих треугольников.
Правильные
многоугольники.
Преобразования
плоскости.
Движения.
Подобие. Симметрия.
Площадь. Вычисление площадей. Площади
подобных фигур.
Декартовы координаты на плоскости.
Векторы на плоскости

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОГО КУРСА «ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА».
7-9 КЛАССЫ
ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА
В современном цифровом мире вероятность и статистика приобретают всё
большую значимость, как с точки зрения практических приложений, так и их роли
в образовании, необходимом каждому человеку. Возрастает число профессий, при
овладении которыми требуется хорошая базовая подготовка в области вероятности
и статистики, такая подготовка важна для продолжения образования и для
успешной профессиональной карьеры.
Каждый человек постоянно принимает решения на основе имеющихся у него
данных. А для обоснованного принятия решения в условиях недостатка или
избытка информации необходимо в том числе хорошо сформированное
вероятностное и статистическое мышление.
Именно поэтому остро встала необходимость сформировать у обучающихся
функциональную грамотность, включающую в себя в качестве неотъемлемой
составляющей умение воспринимать и критически анализировать информацию,
представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих
реальных процессов и зависимостей, производить простейшие вероятностные
расчёты. Знакомство с основными принципами сбора, анализа и представления
данных из различных сфер жизни общества и государства приобщает
обучающихся к общественным интересам. Изучение основ комбинаторики
развивает навыки организации перебора и подсчёта числа вариантов, в том числе,
в прикладных задачах. Знакомство с основами теории графов создаёт
математический фундамент для формирования компетенций в области
информатики и цифровых технологий. Помимо этого, при изучении статистики и
вероятности обогащаются представления учащихся о современной картине мира и
методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника
социально значимой информации и закладываются основы вероятностного
мышления.
В соответствии с данными целями в структуре программы учебного курса
«Вероятность и статистика» основной школы выделены следующие
содержательно-методические линии:
«Представление данных и описательная статистика»; «Вероятность»;
«Элементы комбинаторики»; «Введение в теорию графов».
Содержание линии «Представление данных и описательная статистика»
служит основой для формирования навыков работы с информацией: от чтения и
интерпретации информации, представленной в таблицах, на диаграммах и
графиках до сбора, представления и анализа данных с использованием
статистических характеристик средних и рассеивания. Работая с данными,
обучающиеся учатся считывать и интерпретировать данные, выдвигать,
аргументировать и критиковать простейшие гипотезы, размышлять над
факторами, вызывающими изменчивость, и оценивать их влияние на
рассматриваемые величины и процессы.
Интуитивное представление о случайной изменчивости, исследование
закономерностей и тенденций становится мотивирующей основой для изучения
теории вероятностей. Большое значение здесь имеют практические задания, в
частности опыты с классическими вероятностными моделями.
Понятие вероятности вводится как мера правдоподобия случайного события.
При изучении курса обучающиеся знакомятся с простейшими методами
вычисления вероятностей в случайных экспериментах с равновозможными
элементарными исходами, вероятностными законами, позволяющими ставить и
57

решать более сложные задачи. В курс входят начальные представления о
случайных величинах и их числовых характеристиках.
Также в рамках этого курса осуществляется знакомство обучающихся с
множествами и основными операциями над множествами, рассматриваются
примеры применения для решения задач, а также использования в других
математических курсах и учебных предметах.
МЕСТО УЧЕБНОГО КУРСА В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
В 7–9 классах изучается курс «Вероятность и статистика», в который входят
разделы: «Представление данных и описательная статистика»; «Вероятность»;
«Элементы комбинаторики»; «Введение в теорию графов».
На изучение данного курса отводит 1 учебный час в неделю в течение
каждого года обучения, всего 102 учебных часа.
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА
7 класс
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Заполнение
таблиц, чтение и построение диаграмм (столбиковых (столбчатых) и круговых).
Чтение графиков реальных процессов. Извлечение информации из диаграмм и
таблиц, использование и интерпретация данных.
Описательная статистика: среднее арифметическое, медиана, размах,
наибольшее и наименьшее значения набора числовых данных. Примеры
случайной изменчивости.
Случайный эксперимент (опыт) и случайное событие. Вероятность и частота.
Роль маловероятных и практически достоверных событий в природе и в обществе.
Монета и игральная кость в теории вероятностей.
Граф, вершина, ребро. Степень вершины. Число рёбер и суммарная степень
вершин. Представление о связности графа. Цепи и циклы. Пути в графах. Обход
графа (Эйлеров путь). Представление об ориентированном графе. Решение задач с
помощью графов.
8 класс
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Множество,
элемент множества, подмножество. Операции над множествами: объединение,
пересечение,
дополнение.
Свойства
операций
над
множествами:
переместительное, сочетательное, распределительное, включения. Использование
графического представления множеств для описания реальных процессов и
явлений, при решении задач.
Измерение рассеивания данных. Дисперсия и стандартное отклонение
числовых наборов. Диаграмма рассеивания.
Элементарные события случайного опыта. Случайные события. Вероятности
событий. Опыты с равновозможными элементарными событиями. Случайный
выбор. Связь между маловероятными и практически достоверными событиями в
природе, обществе и науке.
Дерево. Свойства деревьев: единственность пути, существование висячей
вершины, связь между числом вершин и числом рёбер. Правило умножения.
Решение задач с помощью графов. Противоположные события. Диаграмма Эйлера.
Объединение и пересечение событий. Несовместные события. Формула сложения
вероятностей. Условная вероятность. Правило умножения. Независимые события.
Представление эксперимента в виде дерева. Решение задач на нахождение
вероятностей с помощью дерева случайного эксперимента, диаграмм Эйлера.
9 класс
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков, интерпретация
данных. Чтение и построение таблиц, диаграмм, графиков по реальным данным.
58

Перестановки и факториал. Сочетания и число сочетаний. Треугольник
Паскаля. Решение задач с использованием комбинаторики.
Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из фигуры на
плоскости, из отрезка и из дуги окружности.
Испытание. Успех и неудача. Серия испытаний до первого успеха. Серия
испытаний Бернулли. Вероятности событий в серии испытаний Бернулли.
Случайная величина и распределение вероятностей. Математическое
ожидание и дисперсия. Примеры математического ожидания как теоретического
среднего значения величины. Математическое ожидание и дисперсия случайной
величины «число успехов в серии испытаний Бернулли».
Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей с помощью
частот. Роль и значение закона больших чисел в природе и обществе.
ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ ПРИМЕРНОЙ
РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ КУРСА
Предметные результаты освоения курса «Вероятность и статистика» в 7–9
классах характеризуются следующими умениями.
7 класс
➢
Читать информацию, представленную в таблицах, на
диаграммах; представлять данные в виде таблиц, строить диаграммы
(столбиковые (столбчатые) и круговые) по массивам значений.
➢
Описывать и интерпретировать реальные числовые данные,
представленные в таблицах, на диаграммах, графиках.
➢
Использовать
для
описания
данных
статистические
характеристики: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и
наименьшее значения, размах.
➢
Иметь представление о случайной изменчивости на примерах
цен,
физических
величин,
антропометрических
данных;
иметь
представление о статистической устойчивости.
8 класс
➢
Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в
виде таблиц, диаграмм, графиков; представлять данные в виде таблиц,
диаграмм, графиков.
➢
Описывать данные с помощью статистических показателей:
средних значений и мер рассеивания (размах, дисперсия и стандартное
отклонение).
➢
Находить частоты числовых значений и частоты событий, в том
числе по результатам измерений и наблюдений.
➢
Находить вероятности случайных событий в опытах, зная
вероятности элементарных событий, в том числе в опытах с
равновозможными элементарными событиями.
➢
Использовать графические модели: дерево случайного
эксперимента, диаграммы Эйлера, числовая прямая.
➢
Оперировать понятиями: множество, подмножество; выполнять
операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение;
перечислять элементы множеств; применять свойства множеств.
➢
Использовать графическое представление множеств и связей
между ними для описания процессов и явлений, в том числе при решении
задач из других учебных предметов и курсов.
9 класс
59

➢
Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в
различных источниках в виде таблиц, диаграмм, графиков; представлять
данные в виде таблиц, диаграмм, графиков.
➢
Решать задачи организованным перебором вариантов, а также с
использованием комбинаторных правил и методов.
➢
Использовать описательные характеристики для массивов
числовых данных, в том числе средние значения и меры рассеивания.
➢
Находить частоты значений и частоты события, в том числе
пользуясь результатами проведённых измерений и наблюдений.
➢
Находить вероятности случайных событий в изученных опытах,
в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями, в
сериях испытаний до первого успеха, в сериях испытаний Бернулли.
➢
Иметь представление о случайной величине и о распределении
вероятностей.
➢
Иметь представление о законе больших чисел как о проявлении
закономерности в случайной изменчивости и о роли закона больших чисел в
природе и обществе.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

7 класс
(34 часа; 1 час в неделю)
Название раздела
(темы) курса (число
часов)
Представление
данных
(7 ч)

Описательная
статистика
(8 ч)

Случайная
изменчивость
(6 ч)

Основное содержание

Основные виды деятельности обучающихся

Представление данных в таблицах.
Практические вычисления по табличным
данным. Извлечение и интерпретация
табличных данных.
Практическая работа «Таблицы».
Графическое представление данных в
виде круговых, столбиковых (столбчатых)
диаграмм. Чтение и построение диаграмм.
Примеры демографических диаграмм.
Практическая работа «Диаграммы»
Числовые
наборы.
Среднее
арифметическое.
Медиана
числового
набора.
Устойчивость медианы.
Практическая
работа
«Средние
значения».
Наибольшее и наименьшее значения
числового набора. Размах

Осваивать способы представления статистических данных и числовых массивов
с помощью таблиц и диаграмм с использованием актуальных и важных данных
(демографические данные, производство промышленной и сельскохозяйственной
продукции, общественные и природные явления).
Изучать методы работы с табличными и графическими представлениями данных
с помощью цифровых ресурсов в ходе практических работ

Осваивать понятия: числовой набор, мера центральной тенденции (мера центра),
в том числе среднее арифметическое, медиана.
Описывать статистические данные с помощью среднего арифметического и
медианы. Решать задачи.
Изучать свойства средних, в том числе с помощью цифровых ресурсов, в ходе
практических работ.
Осваивать понятия: наибольшее и наименьшее значения числового массива,
размах.
Решать задачи на выбор способа описания данных в соответствии с природой
данных и целями исследования
Случайная изменчивость (примеры).
Осваивать понятия: частота значений в массиве данных, группировка данных,
Частота значений в массиве данных. гистограмма.
Группировка. Гистограммы.
Строить и анализировать гистограммы, подбирать подходящий шаг
Практическая
работа
«Случайная группировки.
изменчивость»
Осваивать графические представления разных видов случайной изменчивости, в
том числе с помощью цифровых ресурсов, в ходе практической работы

Название раздела
(темы) курса (число
Основное содержание
Основные виды деятельности обучающихся
часов)
Введение в теорию
Граф, вершина, ребро. Представление
Осваивать понятия: граф, вершина графа, ребро графа, степень (валентность
графов
задачи
с
помощью
графа.
Степень вершины), цепь и цикл.
(4 ч)
(валентность) вершины. Число рёбер и
Осваивать понятия: путь в графе, эйлеров путь, обход графа, ориентированный
суммарная степень вершин. Цепь и цикл. Путь граф.
в графе. Представление о связности графа.
Решать задачи на поиск суммы степеней вершин графа, на поиск обхода графа, на
Обход графа (эйлеров путь). Представление поиск путей в ориентированных графах.
об ориентированных графах
Осваивать способы представления задач из курса алгебры, геометрии, теории
вероятностей, других предметов с помощью графов (карты, схемы, электрические
цепи, функциональные соответствия) на примерах
Вероятность и
Случайный опыт и случайное событие.
Осваивать понятия: случайный опыт и случайное событие, маловероятное и
частота случайного
Вероятность и частота события. Роль практически достоверное событие.
события
маловероятных и практически достоверных
Изучать значимость маловероятных событий в природе и обществе на важных
(4 ч)
событий в природе и в обществе. Монета и примерах (аварии, несчастные случаи, защита персональной информации, передача
игральная кость в теории вероятностей.
данных).
Практическая
работа
«Частота
Изучать роль классических вероятностных моделей (монета, игральная кость) в
выпадения орла»
теории вероятностей.
Наблюдать и изучать частоту событий в простых экспериментах, в том числе с
помощью цифровых ресурсов, в ходе практической работы
Обобщение, контроль
Представление данных. Описательная
Повторять изученное и выстраивать систему знаний.
(5 ч)
статистика. Вероятность случайного события
Решать задачи на представление и описание данных с помощью изученных
характеристик.
Обсуждать примеры случайных событий, маловероятных и практически
достоверных случайных событий, их роли в природе и жизни человека.

8 класс
(34 часа; 1 час в неделю)
Название раздела
(темы) курса (число
Основное содержание
Основные виды деятельности обучающихся
часов)
Повторение курса 7
Представление данных. Описательная
Повторять изученное и выстраивать систему знаний.
класса
статистика.
Случайная
изменчивость.
Решать задачи на представление и описание данных с помощью изученных
(4 ч)
Средние числового набора.
характеристик.
Случайные события. Вероятности и
Решать задачи на представление группированных данных и описание случайной
частоты. Классические модели теории изменчивости.
вероятностей: монета и игральная кость
Решать задачи на определение частоты случайных событий, обсуждение
примеров случайных событий, маловероятных и практически достоверных случайных
событий, их роли в природе и жизни человека
Описательная
Отклонения. Дисперсия числового набора.
Осваивать понятия: дисперсия и стандартное отклонение, использовать эти
статистика.
Стандартное отклонение числового набора. характеристики для описания рассеивания данных.
Рассеивание данных
Диаграммы рассеивания
Выдвигать гипотезы об отсутствии или наличии связи по диаграммам
(4 ч)
рассеивания.
Строить диаграммы рассеивания по имеющимся данным, в том числе с помощью
компьютера
Множества (4 ч)
Множество, подмножество. Операции над
Осваивать понятия: множество, элемент множества, подмножество.
множествами: объединение, пересечение,
Выполнять операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение.
дополнение.
Использовать свойства: переместительное, сочетательное, распределительное,
Свойства операций над множествами: включения.
переместительное,
сочетательное,
Использовать графическое представление множеств при описании реальных
распределительное, включения.
процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов и курсов
Графическое представление множеств
Вероятность
Элементарные
события.
Случайные
Осваивать понятия: элементарное событие, случайное событие как совокупность
случайного события
события. Благоприятствующие элементарные благоприятствующих элементарных событий, равновозможные элементарные
(6 ч)
события. Вероятности событий. Опыты с события.
равновозможными
элементарными
Решать задачи на вычисление вероятностей событий по вероятностям
событиями. Случайный выбор.
элементарных событий случайного опыта.
Практическая
работа
«Опыты
с
Решать задачи на вычисление вероятностей событий в опытах с
равновозможными
элементарными равновозможными элементарными событиями, в том числе с помощью компьютера.
событиями»
Проводить и изучать опыты с равновозможными элементарными событиями (с
использованием монет, игральных костей, других моделей) в ходе практической
работы

Название раздела
(темы) курса (число
Основное содержание
Основные виды деятельности обучающихся
часов)
Введение в теорию
Дерево. Свойства дерева: единственность
Осваивать понятия: дерево как граф без цикла, висячая вершина (лист), ветвь
графов
пути, существование висячей вершины, связь дерева, путь в дереве, диаметр дерева.
(4 ч)
между числом вершин и числом рёбер.
Изучать свойства дерева: существование висячей вершины, единственность пути
Правило умножения
между двумя вершинами, связь между числом вершин и числом рёбер.
Решать задачи на поиск и перечисление путей в дереве, определение числа
вершин или рёбер в дереве, обход бинарного дерева, в том числе с применением
правила умножения
Случайные события
Противоположное событие. Диаграмма
Осваивать понятия: взаимно противоположные события, операции над
(8 ч)
Эйлера. Объединение и пересечение событий. событиями, объединение и пересечение событий, диаграмма Эйлера (Эйлера-Венна),
Несовместные события. Формула сложения совместные и несовместные события.
вероятностей.
Правило
умножения
Изучать теоремы о вероятности объединения двух событий (формулы сложения
вероятностей.
Условная
вероятность. вероятностей).
Независимые
события.
Представление
Решать задачи, в том числе текстовые задачи на определение вероятностей
случайного эксперимента в виде дерева
объединения и пересечения событий с помощью числовой прямой, диаграмм Эйлера,
формулы сложения вероятностей.
Осваивать понятия: правило умножения вероятностей, условная вероятность,
независимые события дерево случайного опыта.
Изучать свойства (определения) независимых событий.
Решать задачи на определение и использование независимых событий.
Решать задачи на поиск вероятностей, в том числе условных, с использованием
дерева случайного опыта
Обобщение, контроль
Представление данных. Описательная
Повторять изученное и выстраивать систему знаний.
(4 ч)
статистика. Графы. Вероятность случайного
Решать задачи на представление и описание данных с помощью изученных
события. Элементы комбинаторики
характеристик.
Решать задачи с применением графов.
Решать задачи на нахождение вероятности случайного события по вероятностям
элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными
событиями.
Решать задачи на нахождение вероятностей объединения и пересечения событий,
в том числе независимых, с использованием графических представлений и дерева
случайного опыта.
Решать задачи на перечисление комбинаций (числа перестановок, числа
сочетаний), на нахождение вероятностей событий с применением комбинаторики, в
том числе с использованием треугольника Паскаля

9 класс
(34 часа; 1 час в неделю)
Название раздела
(темы) курса (число
Основное содержание
часов)
Повторение курса 8
Представление данных. Описательная
класса
статистика. Операции над событиями.
(4 ч)
Независимость событий

Элементы
комбинаторики
(4 ч)

Комбинаторное правило умножения.
Перестановки. Факториал. Сочетания и число
сочетаний.
Треугольник
Паскаля.
Практическая
работа
«Вычисление
вероятностей
с
использованием
комбинаторных
функций
электронных
таблиц»

Геометрическая
вероятность
(4 ч)

Геометрическая вероятность. Случайный
выбор точки из фигуры на плоскости, из
отрезка, из дуги окружности

Испытания Бернулли
Испытание. Успех и неудача. Серия
(6 ч)
испытаний до первого успеха. Испытания
Бернулли. Вероятности событий в серии
испытаний Бернулли.
Практическая
работа
«Испытания
Бернулли»

Основные виды деятельности обучающихся
Повторять изученное и выстраивать систему знаний.
Решать задачи на представление и описание данных.
Решать задачи на нахождение вероятностей объединения и пересечения событий,
в том числе независимых, с использованием графических представлений и дерева
случайного опыта.
Решать задачи на перечисление комбинаций (числа перестановок, числа
сочетаний), на нахождение вероятностей событий с применением комбинаторики, в
том числе с использованием треугольника Паскаля
Осваивать понятия: комбинаторное правило умножения, упорядоченная пара,
тройка объектов, перестановка, факториал числа, сочетание, число сочетаний,
треугольник Паскаля.
Решать задачи на перечисление упорядоченных пар, троек, перечисление
перестановок и сочетаний элементов различных множеств.
Решать задачи на применение числа сочетаний в алгебре (сокращённое
умножение, бином Ньютона).
Решать, применяя комбинаторику, задачи на вычисление вероятностей, в том
числе с помощью электронных таблиц в ходе практической работы
Осваивать понятие геометрической вероятности.
Решать задачи на нахождение вероятностей в опытах, представимых как выбор
точек из многоугольника, круга, отрезка или дуги окружности, числового промежутка
Осваивать понятия: испытание, элементарное событие в испытании (успех и
неудача), серия испытаний, наступление первого успеха (неудачи), серия испытаний
Бернулли.
Решать задачи на нахождение вероятностей событий в серии испытаний до
первого успеха, в том числе с применением формулы суммы геометрической
прогрессии.
Решать задачи на нахождение вероятностей элементарных событий в серии
испытаний Бернулли, на нахождение вероятности определённого числа успехов в
серии испытаний Бернулли.
Изучать в ходе практической работы, в том числе с помощью цифровых
ресурсов, свойства вероятности в серии испытаний Бернулли

Название раздела
(темы) курса (число
Основное содержание
часов)
Случайная величина
Случайная величина и распределение
(6 ч)
вероятностей. Математическое ожидание и
дисперсия случайной величины. Примеры
математического
ожидания
как
теоретического среднего значения величины.
Понятие о законе больших чисел.
Измерение вероятностей с помощью частот.
Применение закона больших чисел

Основные виды деятельности обучающихся

Освоить понятия: случайная величина, значение случайной величины,
распределение вероятностей.
Изучать и обсуждать примеры дискретных и непрерывных случайных величин
(рост, вес чело века, численность населения, другие изменчивые величины,
рассматривавшиеся в курсе статистики), модельных случайных величин, связанных
со случайными опытами (бросание монеты, игральной кости, со случайным выбором
и т. п.).
Осваивать понятия: математическое ожидание случайной величины как
теоретическое среднее значение, дисперсия случайной величины как аналог
дисперсии числового набора.
Решать задачи на вычисление математического ожидания и дисперсии
дискретной случайной величины по заданному распределению, в том числе задач,
связанных со страхованием и лотереями.
Знакомиться с математическим ожиданием и дисперсией некоторых
распределений, в том числе распределения случайной величины «число успехов» в
серии испытаний Бернулли.
Изучать частоту события в повторяющихся случайных опытах как случайную
величину.
Знакомиться с законом больших чисел (в форме Бернулли): при большом числе
опытов частота события близка к его вероятности.
Решать задачи на измерение вероятностей с помощью частот.
Обобщение, контроль
Представление данных. Описательная
Повторять изученное и выстраивать систему знаний.
(10 ч)
статистика. Вероятность случайного события.
Решать задачи на представление и описание данных.
Элементы
комбинаторики.
Случайные
Решать задачи на нахождение вероятностей событий, в том числе в опытах с
величины и распределения
равновозможными элементарными событиями, вероятностей объединения и
пересечения событий, вычислять вероятности в опытах с сериями случайных
испытаний

7. РООП ООО 2022 - 2027 МАТЕМАТИКА

ВНИМАНИЕ!